Teorema de Bayes

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El teorema de Bayes, és un dels teoremes més emprats a la teoria de la probabilitat. Descobert per Thomas Bayes és una manera particular de relacionar dues probabilitats per tal de demostrar la relació entre la probabilitat d'un esdeveniment condicionada al succés d'un segon esdeveniment i la probabilitat d'aquest segon esdeveniment condicionada al succés del primer, és a dir, entre P(A|B) i P(B|A).

Sigui  A_1, A_2,..., A_n una partició de l'espai E i sigui B un esdeveniment qualsevol. De l'expressió de la probabilitat condicionada, si P(B) \neq 0 es defineix la probabilitat del succés A condicionada a B tal com:

P(A_1|B) = \frac{P(B | A_1) P(A_1)}{P(B)}

ens dóna la probabilitat de A sabent d'entrada que s'ha verificat el succés B i, per tant:

 P(A_1|B) = \frac{P(B | A_1) P(A_1)}{\sum_{i=1}^n P(B | A_i) P(A_i)}

Aquesta manera de relacionar les probabilitats condicionades  P(A_i|B) i P(B|A_j) del primer i darrer termes de la igualtat s'anomena fórmula de Bayes, essent particularment útil.

Formes alternatives del teorema de Bayes[modifica | modifica el codi]

Teorema de Bayes per a funcions de densitat de probabilitat[modifica | modifica el codi]

Existeix una versió del teorema de Bayes que pot aplicar-se a variables aleatòries contínues. Derivar aquesta forma del teorema és més complex matemàticament, però l'expressió del teorema és tan senzilla com la presentada anteriorment:

 f(x|y) = \frac{f(x,y)}{f(y)} = \frac{f(y|x)\,f(x)}{f(y)} \!

També podem expressar el teorema de la següent manera:

 f(x|y) = \frac{f(y|x)\,f(x)}{\int_{-\infty}^{\infty} f(y|x)\,f(x)\,dx}.
\!

La nomenclatura és la següent: f(x, y) és la funció de densitat conjunta de X i Y, f(x|y) és la densitat de X condicional a Y=y (de vegades també anomenada com a distribució a posteriori de X), f(y|x) =  i f(x) i f(y) són les funcions de densitat marginals d'X i Y respectivament (de vegades f(x) s'anomena la distribució a priori d'X).

En la nomenclatura anterior s'abusa lleugerament de la notació, donat que s'empra emprat f per a tots aquests termes, tot i que cadascun en realitat és una funció diferent. Les funcions es poden distingir fàcilment pel nom dels seus arguments.

Teorema de Bayes emprant derivades de Radon-Nykodim[modifica | modifica el codi]

Existeix una versió general del teorema de Bayes que és vàlid per variables aleatòries contínues i discretes, així com per qualsevol dues variables per les quals disposem de la derivada de Radon-Nykodim de la seva distribució de probabilitat respecte una mesura sigma-finita.

Sigui P_X la mesura de probabilitat de X,  \mu_X una mesura sigma-finita que domina a  P_X , i anomenem  f_X= \frac{dP_X}{d\mu_X} a la derivada de Radon-Nykodim de P_X respecte \mu_X. Definim de forma anàloga P_Y, \mu_Y i  f_Y= \frac{dP_Y}{d\mu_Y} . Considerem la mesura de probabilitat conjunta per a (X,Y), que està dominada per la mesura producte \lambda=\mu_X \times \mu_Y , i anomenem  f_{(X,Y)}= \frac{dP_{(X,Y)}}{d\lambda} . Aleshores la derivada de Radon-Nykodim de la mesura de probabilitat de X condicional a la sigma-algebra originada per,  f_{(X|Y)}= \frac{dP_{(X|Y)}}{d\mu_X} , satisfa:

 f_{(X|Y)}= \frac{f_{(X,Y)}}{f_Y} .

Si tant X com Y són variables aleatòries discretes, aquesta fórmula és equivalent a la versió original del teorema de Bayes. Si tant X com Y són variables aleatòries contínues, aquesta fórmula és equivalent a la versió del teorema per a funcions de densitat de probabilitat presentada anteriorment. Tanmateix, aquesta versió és més general i pot aplicar-se, per exemple, quan X és contínua i Y és discreta.

Aquesta versió del teorema pot generalitzar-se en cas de tenir més de dues variables aleatòries. De fet, la generalització és directa: tan sols cal considerar que X i Y són vectors aleatoris en lloc de variables aleatòries. Com que les versions presentades anteriorment són casos particulars, també es poden generalitzar de forma directa en cas de tenir més de dues variables aleatòries.