Teorema de Varignon

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El terme teorema de Varignon fa referència a dos teoremes diferents demostrats ambdós pel matemàtic francès Pierre Varignon (1654-1722), un Teorema matemàtic i un Teorema mecànic

Teorema matemàtic[modifica | modifica el codi]

 A(\Box IJKL)=\frac{1}{2}A(\Box ABCD)

ABCD és un quadrilàter qualsevol, I, J, K i L els punts mitjos dels seus costats. IJKL és un paral·lelogram.

Enunciat: si ABCD és pla i convex, la seva àrea és el doble de IJKL.[1]

Corol·lari: les mitjanes d'un quadrilàter tenen el mateix punt mig (i són les diagonals del paral·lelogram), el perímetre del paral·lelogram de Varignon és igual a la suma de les longituds de les diagonals del quadrilàter.

Demostració[modifica | modifica el codi]

Aplicant el teorema dels punts mitjos, es mostra que els costats oposats d'IJKL són cadascun paral·lel a una diagonal d'ABCD, per tant, paral·lels entre si.

D'acord amb el teorema de Tales la base b de IJKL és igual a la meitat de la diagonal d d'ABCD, i l'altura h és igual a la meitat de l'altura h'. Agafant-ho d'una punta a l'altre d'ABCD (perpendicularment a la diagonal).

Així:

Àrea (ABCD) = \frac 12 × d × h’ = \frac 12 × 2b × 2h = 2 × Àrea (IJKL)
quadrangle convex quadrangle reentrant quadrangle creuat

quadrangle convex

quadrangle reentrant

Quadrangle creuat

Teorema mecànic[modifica | modifica el codi]

El teorema de Varignon és un teorema descobert per primera vegada pel matemàtic neerlandès Simon Stevin a començaments del segle XVII, però que deu la seva actual forma al matemàtic francès Pierre Varignon (1654-1722), que el va enunciar el 1724 al seu tractat Nouvelle mécanique, com a resultat d'un estudi geomètric en el qual, en contra de l'opinió dels matemàtics francesos de la seva època, va decidir traslladar les idees exposades per Newton a la notació i a l'enfocament que sostenia Leibniz sobre l'anàlisi.

Enunciat i demostració[modifica | modifica el codi]

El teorema de Varignon és ara vist, gràcies a l'ús del càlcul vectorial, com una obvietat. Tanmateix, en la seva època va tenir una rellevància fonamental, ja que les forces no eren vistes com a vectors amb un mòdul, direcció i sentits donats, sinó com entelèquies molt abstractes el tractament de les quals es veia complicat a causa d'una semàntica difícil i ineficaç i simbologia (que la notació de Leibniz va resoldre), i per l'ús de tècniques geomètriques molt enginyoses però difícils de tractar.

El seu enunciat, segons la terminologia actual, seria:

El moment resultant sobre un sistema de forces concurrents és igual a la suma dels moments de les forces aplicades.

Demostració[modifica | modifica el codi]

Sigui un sistema de n forces concurrents, F1, F2...,Fi...,Fn, vectors en un espai euclidià, que té com a punt d'aplicació un cert punt A. El moment de cada força Fi respecte a O serà: Mi = r x Fi (producte vectorial). Cal notar que escrivim r i no ri, ja que totes les forces s'apliquen en el mateix punt. El moment de la resultant R és: M= r x R on R=F1 + F2 + Fi + ...+ Fn i r és novament el vector posició comú. Aplicant la propietat del producte vectorial, tenim r x R = r x (F1 + F2 + Fi + ...+ Fn) r x R = r x F1 + r x F2 + r x Fi + ...+ r x Fn) llavors M = M1 + M2 + Mi +...+ Mn

Després, efectivament "el moment resultant és igual a la suma vectorial dels moments de les forces aplicades si aquestes són concurrents".

Notes[modifica | modifica el codi]

  1. Bataille, M. (2007) "Cyclic Quadrilaterals with Prescribed Varignon Parallelogram", Forum Geometricorum, jrg. 7 pp. 199-206.