Producte vectorial

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, el producte vectorial o producte extern és una operació entre dos vectors d'un espai euclidià tridimensional orientat que retorna un altre vector ortogonal als dos vectors originals.

És diferent doncs, del producte escalar o producte intern que retorna un escalar.


Definició de producte vectorial[modifica | modifica el codi]

Il·lustració del producte vectorial i de la seva anticonmutativitat en un sistema de coordenades de mà dreta.

El producte vectorial de dos vectors a i b s'expressa \mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} o alternativament \mathbf{c} = \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} i el resultat en forma vectorial és:


\mathbf{c} = \begin{bmatrix}c_x\\c_y\\c_z\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}a_x\\a_y\\a_z\end{bmatrix} \times
\begin{bmatrix}b_x\\b_y\\b_z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_y b_z - a_z b_y\\a_z b_x - a_x b_z\\a_x b_y - a_y b_x\end{bmatrix}


També es pot determinar el producte vectorial entre a i b com:

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = a b \sin \theta \ \mathbf{\vec{n}}


on \theta és l'angle entre a i b (entre 0 i π radians), a i b són els mòduls dels vectors a i b, i \mathbf{\vec{n}} és el vector unitari ortogonal al pla que conté a i b. Si els vectors a i b són colinears (és a dir, l'angle \theta entre ells és 0 o π radians), el producte vectorial entre ells és el vector zero 0.


Com trobar la direcció del producte escalar amb la regla de la mà dreta.

En un sistema de coordenades de mà dreta el sentit del vector \mathbf{\vec{n}} ve donat per la regla de la mà dreta, on si l'index estès de la mà dreta és la direcció de a i si el dit mitjà plegat en perpendicular és en la direcció de b aleshores el vector \mathbf{\vec{n}} té la direcció del polze (vegeu la figura a la dreta).

Un sistema de coordenades ortonormal de mà dreta és tal que els vectors unitaris i, j, i k corresponents a les direccions x, y, i z satisfan les següents equacions:

i × j = k           j × k = i           k × i = j

En física i enginyeria és pràctica habitual i per tant hom pressuposa l'ús de sistemes de coordenades de mà dreta.

També es pot trobar el producte vectorial com el determinant de la següent matriu:

\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det \begin{bmatrix} 
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{bmatrix}

on i, j, i k són els vectors unitaris del sistema de coordenades.


Interpretació geomètrica[modifica | modifica el codi]

L'àrea del paral·lelogram del producte vectorial.

El mòdul del producte vectorial es pot interpretar com l'àrea del paral·lelogram que té costats a i b.

 | \mathbf{a} \times \mathbf{b}| = | \mathbf{a} | | \mathbf{b}| \sin \theta. \,\!

La direcció del producte vectorial és perpendicular als dos vectors a i b i el sentit ve donat per la regla de la mà dreta.


Propietats del producte vectorial[modifica | modifica el codi]

El producte vectorial és anticommutatiu:

a × b = -b × a


És distributiu en respecte de la suma:

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)


No és associatiu, però satisfà la identitat de Jacobi:

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0


És compatible amb la multiplicació escalar:

(r a) × b = a × (r b) = r (a × b)


Satisfà la identitat de Lagrange

a × (b × c) = b(a · c)− c(a · b)


Un cas particular de la qual és:

 \begin{matrix}
 \nabla \times (\nabla \times \mathbf{f})
&=& \nabla (\nabla \cdot \mathbf{f} ) 
 - (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{f} 
&=& \mbox{grad }(\mbox{div } \mathbf{f} )
 - \nabla^2 \mathbf{f}
\end{matrix}


Una altra identitat de Lagrange és:

 |a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = |a|^2 |b|^2


Altres propietats del producte vectorial

a • (b × c) = det (a, b, c)
(a × b) × (c × d) = det (a, b, d) c + det (a, b ,c) d


Derivació temporal d'un producte vectorial

 \frac {d} {dt} [a(t) \times b(t)] = a(t) \times \frac {d b(t)} {dt} + \frac {d a(t)} {dt} \times b(t)


Dos vectors no nuls a i b són paral·lels si i només si a × b = 0.

Aplicacions[modifica | modifica el codi]

El producte vectorial s'empra en la fórmula de l'operador vectorial rotacional.

També s'usa per descriure la força de Lorentz experimentada per una càrrega elèctrica en moviment en un camp magnètic. Les definicions de parell de forces i moment angular inclouen el producte vectorial.

El producte vectorial s'empra també per calcular la normal a un triangle o polígon, una operació freqüent en gràfics d'ordinador.

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Producte vectorial Modifica l'enllaç a Wikidata

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Portal

Portal: Matemàtiques