Força de Lorentz

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
La força de Lorentz.
Força sobre una partícula carregada.
Força sobre un corrent.

En física, la força de Lorentz és la força exercida sobre una partícula carregada que es mou en un camp electromagnètic. Rep el seu nom en honor al físic holandès Hendrik Lorentz.

Definició[modifica | modifica el codi]

Donada una càrrega elèctrica puntual q en moviment amb velocitat \mathbf{v} per una regió caracteritzada per la presència d'un camp electromagnètic \mathbf{B}, la partícula carregada experimentarà una força qE deguda al camp elèctric i una força qv × B deguda al camp magnètic segons la següent equació:

\mathbf{F} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}),

on:

F és la força (en newtons)
E és el camp elèctric (en volts per metre)
B és el camp magnètic (en webers per metre quadrat, o en tesles)
q és la càrrega elèctrica de la partícula (en coulombs)
v és la velocitat instantània de la partícula (en metres per segon)
i \times és el producte vectorial.

En conseqüència, una partícula carregada positivament serà accelerada en la mateixa orientació lineal que el camp E, però es corbarà perpendicularment al camp B d'acord amb la regla de la mà dreta.

Força exercida per un conductor per on hi passa corrent[modifica | modifica el codi]

Quan un cable elèctric que porta un corrent elèctric es col·loca en un cap magnètic, cada una de les càrregues que s'estan movent —i que formen el corrent elèctric— experimenten la força de Lorentz, i junts poden crear una força macroscòpica en el cable (sovint anomenada força de Laplace). Combinant l'anterior llei de la força de Lorentz i la definició del corrent elèctric, en el cas d'un cable recte, estacionari:

\mathbf{F} = I \boldsymbol{\ell} \times \mathbf{B} \,\!

on és el vector que indica la longitud del cable, i que la seva direcció és al llarg del cable, alineada amb la direcció convencional del flux de la I.

Si el cable no és recte però és corbat, la força que exerceix pot ser calculada utilitzant l'anterior formula a cada segment infinitesimal del cable d, i després sumant totes aquestes forces per integració. La força neta en un cable rígid, estacionari, que transporta un corrent constant I és

\mathbf{F} = I\int \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times \mathbf{B}

La Força de Lorentz a la Relativitat Especial[modifica | modifica el codi]

Quan la velocitat d'una partícula s'aproxima a la velocitat de la llum, l'equació de la força de Lorentz s'ha de modificar d'acord amb la relativitat especial:

{d \left ( \gamma m \mathbf{v} \right ) \over dt } = \mathbf{F} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}),

on

\gamma \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{|\mathbf{v}|^2}{c^2}}}

s'anomena factor de Lorentz i c és la velocitat de la llum al buit.

Aquesta expressió difereix de l'obtinguda de la força de Lorentz com un factor de \gamma .

El canvi d'energia degut als camps és

{d \left ( \gamma m c^2 \right ) \over dt } = q \mathbf{E} \cdot \mathbf{v} .

Forma covariant de la força de Lorentz[modifica | modifica el codi]

L'equació de la força de Lorentz es pot escriure en forma covariant, en termes de tensor d'intensitat de camp.

 \frac{d p^\alpha}{d \tau} = q u_\beta F^{\alpha \beta}
on
\tau és c vegades el temps propi de la partícula,
q és la càrrega elèctrica,
u és la quadrivelocitat de la partícula, definida com:
u_\beta = \left(u_0, u_1, u_2, u_3 \right) = \gamma \left(c, v_x, v_y, v_z \right) \, i
F és el tensor d'intensitat de camp o tensor electromagnètic i en termes dels camps s'escriu com:
F^{\alpha \beta} = \begin{bmatrix}
0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\
E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\
E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{bmatrix}
.

Els camps es transformen en un quadre que es mou a velocitat relativa constant segons:

 \acute{F}^{\mu \nu} = {\Lambda^{\mu}}_{\alpha} {\Lambda^{\nu}}_{\beta} F^{\alpha \beta} ,

on  {\Lambda^{\mu}}_{\alpha} és la transformació de Lorentz.


Derivació[modifica | modifica el codi]

El component \mu =1 de la força és

 \gamma \frac{d p^1}{d t} = \frac{d p^1}{d \tau} = q u_\beta F^{1 \beta} = q\left
(-u^0 F^{10} + u^1 F^{11} + u^2 F^{12} + u^3 F^{13} \right) .\,

Aquí,  \tau és el temps propi de la partícula. Substituint els components del tensor electromagnètic F dona

 \gamma \frac{d p^1}{d t} = q \left(-u^0 \left(\frac{-E_x}{c} \right) + u^2 (B_z) 
+ u^3 (-B_y) \right) \,

Escrivint la quadrivelocitat en termes de velocitat ordinària dona

 \gamma \frac{d p^1}{d t} = q \gamma \left(c \left(\frac{E_x}{c} \right) + v_y B_z 
- v_z B_y \right) \,
 \gamma \frac{d p^1}{d t} = q \gamma \left( E_x + \left(\mathbf{v} \times \mathbf
{B} \right)_x \right) .\,

El càlcul de \mu = 2 o \mu = 3 és similar donant

 \gamma \frac{d \mathbf{p} }{d t} = \frac{d \mathbf{p} }{d \tau} = q \gamma \left
(\mathbf{E} + (\mathbf{v} \times \mathbf{B})\right) \,,

que és la llei de la força de Lorentz.


Aplicacions[modifica | modifica el codi]

La força de Lorentz és un principi que s'aprofita en molts dispositius com ara:

La força de Lorentz també pot actuar sobre un conductor que transporta un corrent elèctric, en aquest cas s'anomena força de Laplace (vegeu la Llei de Biot-Savart), per efecte de la interacció entre la conducció d'electrons amb els àtoms del material conductor. Aquesta força s'utilitza en dispositius com:

Vegeu també[modifica | modifica el codi]