Teorema de mostreig de Nyquist-Shannon

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Funció d'interpolació g(t) per a Fs=44100 mostres per segon (estàndar CD-Audio). Excepte per a t=0, l'interval entre passos per zero (línies verticals verdes) representa l'interval entre mostres (~22,68 µs per a aquest exemple).

El teorema de mostreig de Nyquist-Shannon, també conegut com a teorema de mostreig de Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon, criteri de Nyquist o teorema de Nyquist, és un teorema fonamental de la teoria de la informació, d'especial interès en les telecomunicacions. Aquest teorema va ser formulat en forma de conjectura per primer cop per Harry Nyquist l'any 1928 (Certain topics in telegraph transmission theory), i va ser demostrat formalment per Claude E. Shannon l'any 1949 (Communication in the presence of noise). La intenció del suec Harry Nyquist en formular aquest teorema era la d'obtenir una gravació digital de qualitat i també es pot conèixer amb el nom de condició de Nyquist. Si es fa un mostreig a un baix valor, hi ha una possibilitat que el senyal original no estigui únicament definit pel nostre senyal mostrejat. Si això passa, no es té cap garantia que el senyal estigui correctament reconstruït. Per aquest motiu es va crear el teorema de Nyquist, que diu el següent:

La freqüència de mostreig mínima que es requereix per realitzar una gravació digital de qualitat, ha de ser superior al doble de la freqüència d'àudio del senyal analògic que s'intenta digitalitzar i gravar.

El teorema demostra que la reconstrucció exacta d'un senyal [Ona periòdica] continu en banda base a partir de les seves mostres és matemàticament possible si el senyal es troba limitat en banda i la taxa de mostreig és superior al doble del seu amplada de banda. Dit d'una altra manera, la informació completa del senyal analògic original que compleix el criteri anterior es troba descrita per la serie total de mostres que s'han obtingut del procés de mostreig. Per tant, tots els valors intermedis entre les diferents mostres queden definits per les mostres obtingudes.

Si la freqüència més alta continguda en un senyal analògic x_a(t) \,\! és F_{max}=B \,\! i el senyal es mostra a F_s>2F_{max} \equiv 2B \,\!, llavors x_a(t) \,\! es pot recuperar totalment a partir de les seves mostres mitjançant la següent funció d'interpolació:

g(t) = \frac{\sin 2 \pi B t}{2 \pi B t} \,\!

Exemple de reconstrucció d'un senyal de 14,7 kHz (línia gris discontínua) amb només cinc mostres. Cada cicle es compon de només 3 mostres a 44100 mostres per segon. La reconstrucció teòrica resulta de la suma ponderada de la funció d'interpolació g(t) i les seves versions corresponents desplaçades en el temps g(t-nT) amb -\infty < n < \infty \,\!, on els coeficients de ponderació són les mostres x(n). A la imatge cada funció d'interpolació està representada amb un color (en total, cinc) i estan ponderades al valor de la seva corresponent mostra (el màxim de cada funció passa per un punt blau que representa la mostra).

Així, x_a(t) \,\! es pot expressar com:

x_a(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_a \left(\frac{n}{F_s}\right) g \left(t-\frac{n}{F_s}\right)

on x_a \left(\frac{n}{F_s}\right)= x_a \left(nT\right) \equiv x \left(n\right) són les mostres de x_a \left(t\right).

El concepte d'amplada de banda no necessàriament és sinònim del valor de la freqüència més alta del senyal. Els senyals que ho compleixen se'ls anomena senyals de banda base, i no tots els senyals comparteixen aquesta característica.

Quan volem convertir un senyal analògic a digital, primer posarem un filtre anomenat "filtre anti-Aliasing". Aquest filtre ha de complir que la seva freqüència de tall sigui menor que la freqüència de mostreig dividida per 2. És a dir, aquest filtre ens assegura que es compleix el Teorema de Nyquist i d'aquesta manera no hi ha solapament freqüencial.

Antecedents històrics[modifica | modifica el codi]

El Teorema de mostreig estava implícit en el treball de Harry Nyquist del 1928 ("Alguns temes de la teoria de la transmissió telegràfica"), en què va demostrar que fins a 2B mostres de polsos independents podien ser enviades a través d'un sistema d'amplada de bandaB; no obstant, no va considerar implícitament el problema de mostrejar i reconstruir un senyal continu. Gairebé al mateix temps, Karl Küpfmüller va mostrar un resultat semblant, i va discutir l'impuls de resposta d'una funció síncrona d'un filtre limitador de banda, a través de la seva integral, el gradient de resposta d'integrar el sinus.

El procés de mostreig[modifica | modifica el codi]

El teorema descriu dos processos per al processament de senyals: un de mostreig, en què un de temps continu del senyal es converteix en un temps discret del senyal, i un procés de reconstrucció, en el qual el senyal continu original és recuperat a partir del senyal de temps discret.

El senyal continu varia amb el temps, per tant el procés de mostreig es fa mesurant el valor dels senyal continus cada cert temps (anomenat interval de mostreig). A la pràctica, per als senyals que estan en funció del temps, l'interval de mostreig és normalment bastant petit de l'ordre de mil·lisegons o microsegons. Aquesta seqüència de mostres permet representar el senyal original, ja que cada mostra s'associa amb l'instant de temps en que ha estat mesurat. L'invers de l'interval de mostreig (T) és la freqüència de mostreig representada per fs que és mesurada en mostres per unitat de temps (Hz).

El procés de reconstrucció[modifica | modifica el codi]

La base és ortogonal. Pes tal de fer-la ortonormal, necessitem un factor de normalització de arrel de T (període). En aquests processos vénen definits pel domini en el temps, i els coeficients d'expansió són calculats mostrejant la funció en el temps amb un valor de 2 * Pi partit pel període.

Si el senyal original conté un component de freqüència igual a la meitat de la taxa o freqüència de mostreig, la condició de Nyquist no es compleix (ha de ser estrictament major que el doble de la freqüència més alta del senyal original). El senyal reconstruït pot tenir un component en aquesta freqüència, però l'amplitud i la fase d'aquest component en general (estadísticament amb probabilitat zero, ja que és un punt de infinits) no coincidirà amb el component original.

Errors d'interpretació freqüents amb relació al teorema i al procés de mostreig[modifica | modifica el codi]

És un error freqüent i estès creure que, un cop satisfets els criteris del teorema (criteris de Nyquist), la qualitat de la reconstrucció d'un senyal en tota la seva banda (el que exclou l'ús de tècniques de Noise Shaping per alterar selectivament la distorsió conseqüència del procés de quantificació en senyals completament digitalitzats, és a dir, mostrejats i quantificats) és funció de la taxa de mostreig emprada en el procés de mostreig. Això és totalment fals des de la perspectiva matemàtica del teorema i un error, un cop considerades les limitacions pràctiques, en l'àmbit pràctic de la física o l'enginyeria. El procés de mostreig (que no s'ha de confondre amb el de quantificació) és, des del punt de vista matemàtic perfectament reversible, és a dir, la seva reconstrucció és exacta, no aproximada. Dit d'una altra manera, des del punt de vista matemàtic al qual es refereix el teorema de mostreig de Nyquist-Shannon, la reconstrucció d'un senyal periòdic amb components de fins a 10 kHz és idèntica tant si s'obté d'una taxa de mostreig de 25.000 mostres per segon com d'una de 50.000 mostres per segon. Matemàticament, no aporta res incrementar la taxa de mostreig una vegada que aquesta compleix el criteri de Nyquist: la informació necessària per a la seva reconstrucció total existeix des que la taxa compleix el criteri. També són errors freqüents i estesos, relacionats directament amb l'exposat en aquest paràgraf, creure que els punts que resulten del procés de mostreig s'uneixen en la reconstrucció mitjançant rectes (interpolació lineal) formant dents de serra en les freqüències representades per poques mostres o que hi ha un procés de càlcul que realitza la interpolació de manera predictiva. En resum, el teorema de mostreig demostra que tota la informació d'un senyal continguda en l'interval temporal entre dues mostres qualssevol està descrita per la sèrie total de mostres sempre que el senyal registrat sigui de naturalesa periòdica (com ho és el so) i no tingui components de freqüència igual o superior a la meitat de la taxa de mostreig, no cal inventar o predir l'evolució del senyal entre mostres.

A la pràctica i atès que no existeixen els filtres analògics passa-baix ideals, s'ha de deixar un marge entre la freqüència màxima que es desitja registrar i la freqüència de Nyquist (freqüència crítica) que resulta de la taxa de mostreig elegida (per exemple, per a CD-Audio la freqüència màxima dels components a registrar i reproduir és de 20 kHz i la freqüència crítica de la taxa de 44.100 mostres per segon emprada és de 22,05 kHz, un marge del 10% aproximadament per a aquesta aplicació). Però aquest marge és una necessitat que resulta de les limitacions físiques d'un filtre de reconstrucció (o filtre antialiasing) real, i no una consideració que contempli (o hagi de contemplar) el teorema, que pretén establir el marc teòric (matemàtic) en el qual s'han de fonamentar els professionals que tracten amb el processament digital de senyals. De vegades es fan servir tècniques de sobremostreig per a la reconstrucció d'un senyal per tal d'augmentar artificialment aquest marge i permetre l'ús de filtres de fase lineal (retard de grup constant) a la banda passant i, en general, més senzills i econòmics amb pendents d'atenuació més suaus. En tot cas, tant el marge com l'ús de tècniques de sobremostreig són recursos d'enginyeria per tractar restriccions pràctiques que en res invaliden la demostració i el contingut del teorema. El teorema és, de fet, el marc analític sobre el qual les restriccions reals (no ideals) han de ser estudiades.

Nous formats i la seva relació amb les interpretacions errònies sobre el teorema i la seva utilitat pràctica[modifica | modifica el codi]

L'aparició recent de nous formats d'àudio (anomenats sovint formats d'alta resolució) per usuari final que contenen senyals mostrejats amb taxes més elevades a la utilitzada en CD-Audio han contribuït a estendre la idea errònia que la qualitat en la reconstrucció d'un senyal en tota la seva banda (fins a la freqüència crítica) és funció directa de la taxa de mostreig emprada. En tot cas, sembla evident que el potencial per registrar i reproduir ultrasons no forma part dels missatges de màrqueting que pretenen promocionar aquests en el mercat. Un argument que sol tenir la forma de "si els nous formats d'alta resolució registren senyals amb taxes de mostreig més elevades per a la reconstrucció de senyals amb el mateix amplada de banda és perquè el teorema de mostreig no s'aplica / no és vàlid / s erroni i aquesta major taxa contribueix a una millora en la qualitat ".

Els nous formats d'àudio que recentment han aparegut (encara que amb escàs èxit comercial) que empren Modulació per impulsos codificats (PCM) sense pèrdua per compressió amb taxes de mostreig més altes a les empleades en el CD-Audio, (DVD-Audio, per exemple) per registrar i reproduir senyals d'idèntic amplada de banda es justifiquen perquè permeten l'ús de filtres de reconstrucció més benignes, senzills i econòmics sacrificant un recurs cada vegada més econòmic i de menor transcendència (la capacitat d'emmagatzematge, un recurs crític en el passat) i perquè, a més, satisfan simultàniament les expectatives d'un mercat com el audiófilo, caracteritzat per dogmes entre els quals es troba molt estesa la falsa creença que això representa una millora en la qualitat del senyal reconstruït (en particular, dels seus components d'alta freqüència). Aquest error és només una conseqüència d'una clara incomprensió de l'abast i significat del teorema de mostreig i d'establir comparacions fal·laces com, per exemple, amb la digitalització d'imatges (on no es realitza la reconstrucció d'un senyal periòdic), etc.

L'elevada taxa de mostreig d'un altre format d'àudio de recent aparició, el SACD o Super Audio CD, és una conseqüència de l'ús d'una tecnologia anomenada comercialment Direct Stream Digital ™ (DSD) basada en un tipus de codificació digital anomenat Modulació per densitat de impulsos (PDM). Si bé la taxa de mostreig és 64 vegades la del CD-Audio, cal tenir present que es tracta d'una quantificació de 1 bit (en lloc dels 16 empleats en el CD-Audio) i basat en tècniques de Noise Shaping (modelatge de soroll). No és possible, per tant, establir comparacions superficials amb el PCM de CD-Audio / DVD-Audio (ambdós PCM), ja que en aquest cas la relació senyal-soroll no és constant respecte de la freqüència (en CD - Audio el soroll de quantificació és independent de la freqüència i només depèn dels intervals d'amplitud emprats en el procés de quantificació, és a dir, és d'uns 98,09 dB [4] constants per als 16 bits d'aquest estàndard CD-Àudio en tot l'espectre útil). Un SACD pot registrar i reproduir senyals amb components de fins a 33 kHz amb una relació senyal-soroll equivalent al d'un CD-Audio (encara que 33 kHz està gairebé una vuitena per sobre del màxim audible i, per tant, un avantatge sobre el CD - Gravació de dubtosa utilitat pràctica) i mantenir una relació senyal-soroll d'aproximadament 122 dB per a l'espectre audible (un potencial, l'equivalent aproximat a 20 bits, també de dubtosa utilitat pràctica com a format final d'usuari considerant els mitjans i entorns de reproducció de aquest format).

Entre els avantatges objectius d'aquests formats (DVD-Audio i SACD) es troba el potencial multicanal (registre de més de dos canals) i la capacitat per a l'ús de tècniques de protecció de còpia (una mica d'extraordinari interès per a les companyies discogràfiques i, probablement, l'autèntica justificació industrial i comercial d'aquests productes juntament amb l'evident benefici resultant de la substitució de tots els equips reproductors i gravadors del món).

S'han publicat treballs experimentals rigorosos que conclouen que no existeixen diferències audibles entre els formats anomenats d'alta resolució i el tradicional suport d'àudio digital CD-Audio (PCM 16 bits; 44.100 mostres / s).

Així mateix, també s'han provat indistingibles entre si els formats d'alta resolució SACD i DVD-Audio.

Diu que: Si f(t) es limitat en banda a [−ΩB,ΩB], podem reconstruir-lo perfectament de les seves mostres fs[n]=f(nT) per a Ωs=(2π/ T) >2ΩB

Aplicació del teorema Nyquist en representació de l'anàlisi d'estabilitat de sistemes d'enllaç tancat[modifica | modifica el codi]

Per analitzar l'estabilitat de sistemes de control lineal, es fa que el contorn tancat del pla avarqui tot el semiplà dret s. El contorn consisteix en tot el eix ω des de (ω = - ∞ fins ω = +∞) , i un pas semicircular de radi infinit en el semiplà s dret. aquest contorn rep el nom de recorregut de Nyquist. El recorregut de Nyquist avarca tot el semiplà dret de s i conte tots els ceros y pols de 1 + G(s)H(s) amb parts reals positives. (Si no hi ha ceros de 1 + G(s)H(s) en el semipla dret de s, no hi ha pols d'enllaç tancat on el sistema es estable .) És necessari que el contorn tancat o recorregut de Nyquist no passi per cap pols o cero de 1 + G(s)H(s). Si G(s) té un pols en el origen del pla s, es fa indeterminada la representació del punt s = 0. En aquests casos s'evita el origen efectuant un desviament al voltant d'ell. Si s'aplica el teorema de la representació al cas especial en que F(s) es igual a 1 + G(s)H(s) es pot afirmar lo següent: si el contorn tancat en el pla s conte tot el semiplà s dret, la quantitat de ceros en el semiplà dret de la funció F(s) = 1 + G(s)H(s) es igual a la quantitat de pols de la funció F(s) = 1 + G(s)H(s) en el semiplà dret de s més la quantitat de voltes completes horaris al origen del plan 1 + G(s)H(s) de la corba tancada corresponent en aquest últim plan.

Exemple[modifica | modifica el codi]

Suposem que el senyal a digitalitzar és la veu, l'amplada de banda de la veu es de 4.000 Hz aproximadament. Llavors, la seva raó de mostreig serà de 2*B = 2*(4.000 Hz), és igual a 8000 Hz, l'equivalent a 8.000 mostres per segon (1/8000). Llavors la raó de mostreig de la veu ha de ser com a mínim de 8000 Hz, perquè aquesta es pugui regenerar sense error.

La freqüència 2*B s'anomena raó de mostreig de Nyquist. La meitat del seu valor s'anomena alguns cops la freqüència de Nyquist.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]