Extensió d'Alexandroff

En el camp matemàtic de la topologia, l'extensió d'Alexandroff és una forma d'estendre un espai topològic no compacte mitjançant l'addició d'un sol punt, donant com a resultat un espai compacte. Aquest concepte rep el nom del matemàtic rus Pavel Alexàndrov.

Més en concret, sigui X un espai topològic. Es defineix l'extensió d'Alexandroff de X com un cert espai compacte X* juntament amb un embedding obert c: X → X* tal que el complement de X dins X* consisteix d'un sol punt, denotat habitualment per ∞. L'aplicació c és una compactificació Hausdorff si i només si X és un espai de Hausdorff no compacte, però localment compacte. Per a aquest tipus d'espais, hom diu que l'extensió d'Alexandroff és la compactificació d'Alexandroff o la compactificació d'un punt. Els avantatges de la compactificació d'Alexandroff rauen en la seva estructura simple i, sovint, geomètricament significativa, i en el fet que és la mínima compactificació entre totes les possibles; per altra banda, el desavantatge és que només proporciona una compactificació Hausdorff sobre la classe d'espais Hausdorff no compactes i alhora localment compactes, al contrari que la compactificació de Stone-Čech, que existeix per a qualsevol espai de Tychonoff, una classe molt més àmplia d'espais.

Exemple: projecció estereogràfica inversa

Projecció estereogràfica

Un exemple geomètric de la compactificació d'Alexandroff ve donat per la projecció estereogràfica inversa. Recodem que la projecció estereogràfica S proporciona un homeomorfisme explícit des de l'esfera unitat menys el pol nord (0,0,1) sobre el pla euclidià. La projecció estereogràfica inversa $S^{-1}:\mathbb {R} ^{2}\hookrightarrow S^{2}$ és un embedding dens i obert dins d'un espai Hausdorff compacte, que s'obté mitjançant l'addició del punt addicional $\infty =(0,0,1)$. Aplicant la projecció estereogràfica, els cercles latitudinals $z=c$ s'envien a circumferències planars $r={\sqrt {(1+c)/(1-c)}}$. D'aquí, es té que la base d'entorns perforats de $(1,0,0)$ donada pels casquets esfèrics perforats $c\leq z<1$ correspon als complements dels discs planars tancats $r\geq {\sqrt {(1+c)/(1-c)}}$. Des d'un punt de vista qualitatiu, una base d'entorns al punt $\infty$ ve donada pels conjunts $S^{-1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus K)\cup \{\infty \}$, on K recorre els subconjunts compactes de $\mathbb {R} ^{2}$. Aquest exemple, encara que és un cas particular, conté els conceptes clau per al cas general.

Motivació

Sigui $c:X\hookrightarrow Y$ un embedding d'un espai topològic X dintre d'un espai topològic Hausdorff compacte Y, amb imatge densa i un residu compost per un sol punt $\{\infty \}=Y\setminus c(X)$. Llavors c(X) és un conjunt obert dins d'un espai Hausdorff compacte, i per tant és localment compacte Hausdorff; d'on la seva imatge homeomorfa X també és localment compacta Hausdorff. Addicionalment, si X fos compacte, llavors c(X) seria tancat a Y, i per tant no seria dens. Així, un espai només pot admetre una compactificació d'Alexandroff si és localment compacte, no compacte, i Hausdorff. Encara més, en una tal compactificació d'Alexandroff, la imatge d'una base d'entorns de x a X proporciona una base d'entorns per de c(x) dins c(X), i –com que un subconjunt d'un espai Hausdorff compacte és compacte si i només si és tancat– els entorns oberts de $\infty$ han de ser tots conjunts obtinguts per adjunció de $\infty$ a la imatge per c d'un subconjunt de X amb complement compacte.

L'extensió d'Alexandroff

Sigui X un espai topològic qualsevol, i sigui $\infty$ qualsevol objecte que no sigui un element de X. Escrivim $X^{*}=X\cup \{\infty \}$, i fixem una topologia a $X^{*}$ on els conjunts oberts siguin tots els subconjunts oberts U de X juntament amb tots els subconjunts V que contenen $\infty$ i tals que $X\setminus V$ és tancat i compacte (Kelley 1975, p. 150).

Hom diu que la inclusió $c:X\rightarrow X^{*}$ és l'extensió d'Alexandroff de X (Willard 1970, 19A).

Hom pot observar les següents propietats:

• L'aplicació c és contínua i oberta: submergeix X com a subconjunt obert de $X^{*}$.
• L'espai $X^{*}$ és compacte.
• La imatge c(X) és densa a $X^{*}$, si X no és compacte.
• L'espai $X^{*}$ és Hausdorff si i només si X és Hausdorff i localment compacte.

La compactificació d'Alexandroff (o d'un punt)

En particular, l'extensió d'Alexandroff $c:X\rightarrow X^{*}$ és una compactificació de X si i només si X és Hausdorff, no compacte i localment compacte. En aquest cas, hom l'anomena compactificació d'Alexandroff o compactificació d'un punt de X. Recordem pel que hem vist abans que qualsevol compactificació amb un residu format per un punt és necessàriament (isomorfa a) la compactificació d'Alexandroff.

Sigui X un espai de Tychonoff qualsevol. Amb l'ordre parcial natural definit sobre el conjunt ${\mathcal {C}}(X)$ de classes d'equivalència de compactificacions, qualsevol element mínim és equivalent a l'extensió d'Alexandroff (Engelking 1989, Teorema 3.5.12). Una conseqüència és que un espau no compacte de Tychonoff admet una compactificació mínima si i només si és localment compacte.

Exemples addicionals

• La compactificació d'Alexandroff del conjunt d'enters positius és homeomorfa a l'espai K = {0} U {1/n | n és un enter positiu} amb la topologia de l'ordre.
• La compactificació d'Alexandroff de l'espai euclidià n-dimensioanl Rⁿ és homeomorfa a la n-esfera Sⁿ. Com abans, l'aplicació es pot construir de forma explícita con una projecció estereogràfica inversa n-dimensional.
• Com que la clausura d'un subconjunt connex és connexa, l'extensió d'Alexandroff d'un espai connex no compacte és connexa. Tot i això, la compactificació d'Alexandroff pot fer que un espai no connex esdevingui connex: per exemple, la compactificació d'Alexandroff de la unió disjunta de $\kappa$ còpies de l'interval (0,1) rosa de $\kappa$ circumferències ((anglès) Bouquet of circles).
• Hom pot interpretar l'extensió d'Alexandroff com un functor des de la categoria d'espais topològics amb aplicacions contínues pròpies com a morfismes, cap a la categoria els objectes de la qual són aplicacions contínues $c:X\rightarrow Y$ i per a la qual els morfismes de $c_{1}:X_{1}\rightarrow Y_{1}$ a $c_{2}:X_{2}\rightarrow Y_{2}$ són parells d'aplicacions contínues $f_{X}:X_{1}\rightarrow X_{2},\ f_{Y}:Y_{1}\rightarrow Y_{2}$ tals que $f_{Y}\circ c_{1}=c_{2}\circ f_{X}$. En particular, els espais homeomorfs tenen extensions d'Alexandroff isomorfes.
• Una successió $\{a_{n}\}$ en un espai topològic $X$ convergeix cap a un punt $a$ de $X$, si i només si l'aplicació $f\colon \mathbb {N} ^{*}\to X$ donada per $f(n)=a_{n}$ amb $n$ de $\mathbb {N}$ i $f(\infty )=a$ és contínua. Aquí, $\mathbb {N}$ té la topologia discreta.
• Els espais poliàdics estan definits com a espais topològics que són la imatge contínua de la potència d'una compactificació d'Alexandroff d'un espai Hausdorff discret i localment compacte.
• L'espai de funcions contínues $C\left(\Omega \right)$ sobre un espai Hausdorff localment compacte $\Omega$ és localment compacte, però es pot fer compacte si i només si s'hi inclou el punt $f(x)=1$ per a tot $x$.

Bibliografia

• Alexandroff, Pavel S. «Über die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume». Math. Ann., 92, 3-4, 1924, pàg. 294–301. DOI: 10.1007/BF01448011. JFM 50.0128.04.
• Brown, Ronald «Sequentially proper maps and a sequential compactification». J. London Math Soc. (2), 7, 1973, pàg. 515–522. DOI: 10.1112/jlms/s2-7.3.515.
• Engelking, Ryszard. General Topology. Helderman Verlag Berlin, 1989. ISBN 978-0-201-08707-9. 
• Fedorchuk, V.V.. Michiel Hazewinkel (ed.). Aleksandrov compactification. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Kelley, John L. General Topology. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1975. ISBN 978-0-387-90125-1. 
• Munkres, James. Topology. 2a edició. Prentice Hall, 1999. ISBN 0-13-181629-2. 
• Willard, Stephen. General Topology. Addison-Wesley, 1970. ISBN 3-88538-006-4. 

Vegeu també

• Esfera de Riemann
• Espai normal
• Projecció azimutal estereogràfica