Dimensió de Hausdorff-Besicovich

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La dimensió de Hausdorff o dimensió de Hausdorff-Besicovich és una generalització mètrica del concepte de dimensió d'un espai topològic, que permet definir la dimensió d'una dimensió fraccionaria (no-entera) per a un objecte fractal.

Mesura de Hausdorff[modifica | modifica el codi]

Contingut de Hausdorff d'un conjunt, per a valors de la dimensió diferent inferiors a la dimensió d'Haussdorff el contingut d'Hausdorff és infinit, per a valors superiors el contingut és zero. Sols per a un valor igual a la dimensió d'Hausdorff el contingut és una quantitat positiva i finita.

Sia no buit. El diàmetre de es definix com a .

Sia un conjunt arbitrari d'índexs. La col·lecció s'anomena -recobriment de si

  • ; i
  • , per a cada .


Sia i un nombre no negatiu. Per a qualsevol es definix:

,

en on l'ínfim es pren respecte a tots els -recobriments numerables de . És possible verificar que és de fet una mesura exterior a .

La mesura exterior -dimensional d'Hausdorff del conjunt es definix com el valor

.

Aquest límit existix. Però com que creix quan decreix, pot ser infinit.

És fàcil veure que és una mesura exterior, així és que, per al Teorema de Carathéodory, la restricció de als conjunts -mesurables. És de fet una mesura, anomenada mesura s-dimensional d'Hausdorff.

La mesura d'Hausdorff generalitza la idea de longitud, àrea i volum. La mesura de dimensió zero compta el nombre de punts en un conjunt si el conjunt és finit, o és infinita si el conjunt ho és. La mesura unidimensional amida la longitud d'una corba suau a . La mesura bidimensional d'un conjunt a és proporcional a la seva àrea i anàlogament la mesura tridimensional d'un conjunt a és proporcional al seu volum.

Per a tot conjunt existix amb la propietat:

Un gràfic de en funció de (Vegeu figura) mostra que existix un valor crític de en el qual canvia subitàment de a .

El comportament de pot explicar-se de la següent manera: Es cobrix el conjunt amb infinits conjunts de diàmetre menut i es calcula la suma d'aquests diàmetres elevats a la -èsima potència. Si és menut, aquestes potències tendixen a la qual cosa produïx que la suma divergisca. Si és gran, les -èsimes potències tenen a zero i la suma tendix a anul·lar-se.

Dimensió d'Hausdorff[modifica | modifica el codi]

La dimensió d'Hausdorff es definix com a:

Referències[modifica | modifica el codi]

  • Falconer K. "The Geometry of Fractal Sets" (Cambridge University Press 1985)
  • Falconer K. "Fractal Geometry: mathematical foundations and applications" (2ed., Wiley 2003)
  • Helmberg G. "Getting Acquainted with Fractals"