Dimensió de Hausdorff-Besicovich

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La dimensió de Hausdorff o dimensió de Hausdorff-Besicovich és una generalització mètrica del concepte de dimensió d'un espai topològic, que permet definir la dimensió d'una dimensió fraccionaria (no-entera) per a un objecte fractal.

Mesura de Hausdorff[modifica | modifica el codi]

Contingut de Hausdorff d'un conjunt, per a valors de la dimensió diferent inferiors a la dimensió d'Haussdorff el contingut d'Hausdorff és infinit, per a valors superiors el contingut és zero. Sols per a un valor igual a la dimensió d'Hausdorff el contingut és una quantitat positiva i finita.

Sia U\subset \mathbb{R}^n no buit. El diàmetre de U es definix com a |U|= \sup \{|x-y|:x,y \in U \}.

Sia  I un conjunt arbitrari d'índexs. La col·lecció \{U_i\}_{i\in I} s'anomena \delta-recobriment de F si

  • F\subset \bigcup_{i\in I} U_i; i
  • 0< |U_i|\leq\delta, per a cada i\in I.


Sia F\subset \mathbb{R}^n i s un nombre no negatiu. Per a qualsevol \delta > 0 es definix:

 \mathcal{H}^s_{\delta} (F) = \inf \{ \sum_{i=1}^\infty |U_i|^s \} ,

en on l'ínfim es pren respecte a tots els \delta-recobriments numerables de F. És possible verificar que  \mathcal{H}^s_{\delta} és de fet una mesura exterior a \mathbb{R}^n.

La mesura exterior s-dimensional d'Hausdorff del conjunt F es definix com el valor

\mathcal{H}^s (F) = \displaystyle \lim_{\delta \rightarrow 0} \mathcal{H}^s_{\delta} (F).

Aquest límit existix. Però com que \mathcal{H}^s_{\delta} creix quan \delta decreix, pot ser infinit.

És fàcil veure que \mathcal{H}^s és una mesura exterior, així és que, per al Teorema de Carathéodory, la restricció de \mathcal{H}^s als conjunts \mathcal{H}^s-mesurables. És de fet una mesura, anomenada mesura s-dimensional d'Hausdorff.

La mesura d'Hausdorff generalitza la idea de longitud, àrea i volum. La mesura de dimensió zero compta el nombre de punts en un conjunt si el conjunt és finit, o és infinita si el conjunt ho és. La mesura unidimensional amida la longitud d'una corba suau a \mathbb{R}^n. La mesura bidimensional d'un conjunt a \mathbb{R}^2 és proporcional a la seva àrea i anàlogament la mesura tridimensional d'un conjunt a \mathbb{R}^3 és proporcional al seu volum.

Per a tot conjunt F \subset \mathbb{R}^n existix s_o \leq n amb la propietat: \mathcal{H}^s(F) = \left \{ \begin{array}{rcl} \infty & \textrm{per a} & s < s_o \\ 0 & \textrm{per a} & s>s_0 \end{array} \right.

Un gràfic de \mathcal{H}^s en funció de s (Vegeu figura) mostra que existix un valor crític de s en el qual \mathcal{H}^s canvia subitàment de \infty a 0.

El comportament de \mathcal{H}^s (F) pot explicar-se de la següent manera: Es cobrix el conjunt F amb infinits conjunts de diàmetre menut \delta \rightarrow 0 i es calcula la suma d'aquests diàmetres elevats a la s-èsima potència. Si s és menut, aquestes potències tendixen a 1 la qual cosa produïx que la suma divergisca. Si s és gran, les s-èsimes potències tenen a zero i la suma tendix a anul·lar-se.

Dimensió d'Hausdorff[modifica | modifica el codi]

La dimensió d'Hausdorff es definix com a:


dim_H(F) := sup \{s: \mathcal{H}^s (F) = \infty \} := inf\{s: \mathcal{H}^s (F) = 0\}

Referències[modifica | modifica el codi]

  • Falconer K. "The Geometry of Fractal Sets" (Cambridge University Press 1985)
  • Falconer K. "Fractal Geometry: mathematical foundations and applications" (2ed., Wiley 2003)
  • Helmberg G. "Getting Acquainted with Fractals"