Funció bijectiva

Una funció bijectiva.

En matemàtiques, una bijecció, o una funció bijectiva és una funció f de un conjunt X a un conjunt Y amb la propietat de que, per a cada y de Y, hi ha exactament un x de X tal que
f(x) = y.

O bé, f és bijectiva si és una correspondència tal que tots els elements del domini tenen imatge (és a dir, és una funció), tots els elements del recorregut tenen una única antiimatge, (és a dir, és una funció injectiva) i al mateix temps tots els elements del codomini són al recorregut perquè són imatge d'algun element del domini (és a dir, és una (funció suprajectiva). En definitiva, una funció injectiva i exhaustiva.

D'una bijecció també se'n diu una permutació. Tot i que això es fa servir més habitualment quan X = Y. El conjunt de totes les bijeccions de X en Y es denota com a X${}\leftrightarrow {}$Y. De fet, quan existeix alguna bijecció entre dos conjunts X i Y es diu que aquests són equipotents i es nota X≈Y. La relació d'equipotència és d'equivalència i conserva moltes propietats.

Les funcions bijectives juguen un paper fonamental en moltes àrees de les matemàtiques, per exemple en la definició de isomorfismes (i conceptes relacionats com els homeomorfismes i els difeomorfismes), grup de permutacions, projectivitats, i molts altres.

Exemples i contraexemples

• Per a qualsevol conjunt X, la funció identitat id_X de Xen X, definida per id_X(x) = x, és bijectiva.
• La funció f de la línia real R en R definida per f(x) = 2x + 1 és bijectiva, donat que per a cada y hi ha un únic x = (y − 1)/2 tal que f(x) = y.
• La funció exponencial g : R $\rightarrow$ R,amb g(x) = e^x, no és bijectiva: per exemple, no hi ha cap x de R tal que g(x) = −1, provant que g no és suprajectiva. En canvi si es canvia el codomini per que sigui el conjunt dels nombres reals positius R⁺ = (0,+∞), llavors g esdevé bijectiva; la seva inversa és la funció logaritme natural ln.
• La funció h : R $\rightarrow$ [0,+∞) amb h(x) = x² no és bijectiva: per exemple, h(−1) = h(+1) = 1, per tant h no és injectiva. Ara bé, si el domini també es canvia per [0,+∞), llavors h esdevé bijectiva; la seva inversa és la funció arrel quadrada positiva.
• $\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x$ no és una bijecció perquè −1, 0, i +1 són dins del domini i a tots dos els correspon el 0.
• $\mathbb {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x)$ no és una bijecció perquè π/3 i 2π/3 són dins els domini i a tots dos els correspon (√3)/2.

Composició i inverses

Una funció f es bijectiva si i només si la seva funció inversa f⁻¹ és una funció. En aquest cas, f⁻¹ també és bijectiva.

La composició g o f de dues funcions bijectives f$\;:\;$ X${}\leftrightarrow {}$Yi g$\;:\;$ Y${}\leftrightarrow {}$Z és una funció bijectiva. La inversa de g o f és (g o f)⁻¹ = (f ⁻¹) o (g⁻¹).

Una funció bijectiva composada de una funció injectiva i una suprajectiva.

Per altra banda, si la composició g o f de dues funcions es bijectiva, només es pot assegurar que f és injectiva i que g és suprajectiva.

Una relació f de X en Y és una funció bijectiva si i només si hi ha un altre relació g de Y en X tal que g o f és la funció identitat de X, i f o g és la funció identitat de Y. En conseqüència, els dos conjunts tenen la mateixa cardinalitat.

Bijeccions i cardinalitat

Si X i Y són conjunts finits, llavors hi ha una bijecció entre els dos conjunts X i Y (és a dir, són equipotents) si i només si X i Y tenen el mateix nombre d'elements. De fet, en la teoria axiomàtica de conjunts, això es pren com a la autèntica definició de "mateix nombre d'elements", i generalitzant aquesta definició al cas de conjunts infinits porta al concepte de nombre cardinal, una forma de distingir les diferents grandàries dels conjunts infinits.

Propietats

• Una funció f de la línia real R en R és bijectiva si i només si la seva gràfica és intersecada per qualsevol línia horitzontal exactament en un únic punt.
• Si X és un conjunt, llavors les funcions bijectives de X en si mateix, juntament amb l'operació de composició de funcions (∘), formen un grup, el grup simètric de X, el qual es denota com a S(X), S_X, o X! (la última notació es llegeix "X factorial").
• Per a un subconjunt A del domini i un subconjunt B del codomini es té:

|f(A)| = |A| i |f⁻¹(B)| = |B|.

• Si X i Y són conjunts finits de la mateixa cardinalitat i f: X → Y, llavors les següents afirmacions són equivalents:
  1. f és una bijecció.
  2. f és suprajectiva.
  3. f és injectiva.
• Com a mínim per a qualsevol conjunt finit S, hi ha una bijecció entre el conjunt de totes les possibles ordenacions totals dels seus elements i el conjunt de totes les bijeccions de S en S. Això és el mateix que dir que el nombre de permutacions (un altre nom per a referir-se a les bijeccions) dels elements de S és el mateix que el nombre de ordenacions totals d'aquest conjunt --anomenat, n!.

Vegeu també

• Equipotència
• Funció injectiva
• Funció suprajectiva