Espai compacte: diferència entre les revisions
m Corregit: fitat. No obstant això, en > fitat. Tanmateix, en |
Cap resum de modificació |
||
Línia 8: | Línia 8: | ||
Un resultat important diu que <math> K </math> és compacte si i només si tota [[Xarxa (matemàtiques)|xarxa]] continguda en <math> K </math> té un punt d'acumulació. |
Un resultat important diu que <math> K </math> és compacte si i només si tota [[Xarxa (matemàtiques)|xarxa]] continguda en <math> K </math> té un punt d'acumulació. |
||
== Algunes |
== Algunes propietats == |
||
Es compleix que si <math> X </math> és varietat afí, aleshores <math> K </math> és connex per camins. Es compleix a més que tot subconjunt acotat d'un precompacto serà també paracompacto. |
Es compleix que si <math> X </math> és varietat afí, aleshores <math> K </math> és connex per camins. Es compleix a més que tot subconjunt acotat d'un precompacto serà també paracompacto. |
||
== Compacitat en |
== Compacitat en espais mètrics == |
||
Si s'ha de <math> (X, d) </math> és un [[espai mètric]], llavors, per <math> K\subset X </math>, les següents proposicions són totes equivalents: |
Si s'ha de <math> (X, d) </math> és un [[espai mètric]], llavors, per <math> K\subset X </math>, les següents proposicions són totes equivalents: |
||
#<math> K </math> és compacte |
#<math> K </math> és compacte |
Revisió del 16:54, 10 jul 2020
En topologia, un subconjunt d'un espai topològic es diu compacte si tot recobriment obert seu té un subrecobriment finit, és a dir, si per a tot tal que són tots oberts i , hi ha finit tal que .
Notar que, en particular, podria ser . En aquest cas es parla d'un espai compacte . Es verifica llavors que és compacte si i només si és un espai compacte per a la topologia traça.
El teorema de Heine-Borel estableix que els subconjunts compactes de són els conjunts tancats i acotats.
Un resultat important diu que és compacte si i només si tota xarxa continguda en té un punt d'acumulació.
Algunes propietats
Es compleix que si és varietat afí, aleshores és connex per camins. Es compleix a més que tot subconjunt acotat d'un precompacto serà també paracompacto.
Compacitat en espais mètrics
Si s'ha de és un espai mètric, llavors, per , les següents proposicions són totes equivalents:
- és compacte
- és seqüencialment compacte
- és complet i totalment tancat
A més, s'ha de serà sempre tancat i acotat.
El teorema de Heine-Borel dóna una caracterització útil en els espais vectorials normats de dimensió finita: és compacte si i només si és tancat i fitat. Tanmateix, en dimensió infinita, això no és veritat, i, de fet, en aquest context la bola unitària tancada mai serà compacta, pel mateix[Cal aclariment], és molt més difícil verificar compacitat. Un resultat important en els espais de funcions contínues és el teorema de Arzelá-Ascoli.
Importància dels Conjunts Compactes
Els conjunts compactes tenen gran importància en diversos resultats de l'anàlisi, sent un dels més importants el teorema de Weierstrass: tota funció real contínua definida en un espai compacte assoleix el seu màxim i el mínim.
Un altre resultat important és el teorema de Heine, que indica que tota funció contínua el domini sigui un conjunt compacte, serà uniformement contínua.