Teorema fonamental del càlcul

De Viquipèdia
Salta a: navegació, cerca

El teorema fonamental del càlcul integral consisteix en l'afirmació de què la derivada i integral d'una funció matemàtica són operacions inverses. Això significa que tota funció contínua integrable verifica que la derivada de la seva integral és ella mateixa. Aquest teorema és central en la branca de les matemàtiques anomenada càlcul.

Una conseqüència directa d'aquest teorema, denominada ocasionalment segon teorema fonamental del càlcul, permet calcular la integral d'una funció utilitzant l'antiderivada de la funció que s'ha d'integrar.

Encara que els antics matemàtics grecs com Arquímedes ja disposaven de mètodes aproximats per al càlcul de volums, àrees i longituds corbes va ser gràcies a una idea originalment desenvolupada pel matemàtic anglès Isaac Barrow i les aportacions d'Isaac Newton i Gottfried Leibniz que aquest teorema va poder ser enunciat i demostrat.

Els teoremes fonamentals del càlcul integral[modifica]

Primer teorema fonamental[modifica]

Declaració[modifica]

Donada una funció integrable sobre l'interval , definim sobre per amb fix. El teorema diu que si és contínua a , llavors és derivable a i .

Demostració[modifica]

Lemma important:

Suposem que és integrable sobre i que:

Llavors

Comença la demostració

Hipòtesi:

Sigui .
Sigui una funció integrable sobre l'interval i contínua a c.
Sigui una funció sobre definida així: amb

Tesi:

F'(c)=f(c)

Per definició tenim: .

Suposem que h>0, llavors .

Definim y com:

,

Aplicant el lemma veiem que:

.

Aleshores,

Ara suposem que , siguin:

,
.

Aplicant el lemma veiem que:

.

Com:

,

Llavors:

.

Donat que , llavors tenim que:

.

I com és contínua a c tenim que:

,

i això porta a:

.

Exemples[modifica]

Segon teorema fonamental[modifica]

Declaració[modifica]

També se l'anomena Regla de Barrow, en honor a Isaac Barrow.

Donada una funció contínua a l'interval i sigui qualsevol funció primitiva de , és a dir , llavors:

Aquest teorema s'empra freqüentement per avaluar integrals definides.

Demostració[modifica]

Hipòtesi:

Sigui una funció contínua a l'interval
Sigui una funció diferenciable en l'interval tal que

Tesi:

Demostració:

Sigui

.

Tenim pel primer teorema fonamental del càlcul que:

.

Per tant:

tal que .

Observem que:

I d'aqui se segueix que ; per tant:

.

I en particular si tenim que:

Exemples[modifica]

Vegeu també[modifica]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Teorema fonamental del càlcul Modifica l'enllaç a Wikidata