Teorema de Stolz-Cesàro: diferència entre les revisions
Recuperant 1 fonts i marcant-ne 0 com a no actives.) #IABot (v2.0.8.6 |
m Amplio article |
||
Línia 1: | Línia 1: | ||
En [[matemàtiques]], el '''teorema de Stolz-Cesàro''' és un criteri per demostrar la [[Convergència (successió matemàtica)|convergència d'una successió]]. El [[teorema]] porta el nom dels matemàtics [[Otto Stolz]] i [[Ernesto Cesàro]], que ho van afirmar i demostrar per primera vegada. |
|||
{{FR|data=2018}} |
|||
A les [[Matemàtiques]], el '''Teorema de Stolz-Cesàro''' és un criteri per a demostrar la [[Límit|convergència]] d'una [[Successió matemàtica|successió]]. El seu nom es deu als matemàtics [[Otto Stolz]] y [[Ernesto Cesàro]]. |
|||
El teorema de Stolz–Cesàro es pot veure com una generalització de la [[sumació de Cesàro]], però també com una [[regla de L'Hôpital]] per a [[Successió (matemàtiques)|successions]]. |
|||
== Criteri de Stolz del quocient == |
|||
Siguin <math>(a_n)_{n \geq 1}</math> i <math>(b_n)_{n \geq 1}</math> dues successions de nombres reals. Si es dona alguna d'aquestes dues condicions: |
|||
== Enunciat del teorema per al cas {{math|∙/∞}} == |
|||
* <math>b_n</math> és monòtona decreixent i els limits de <math>(a_n)</math> i de <math>(b_n)</math> són 0. |
|||
Siguin <math>(a_n)_{n \geq 1}</math> i <math>(b_n)_{n \geq 1}</math> dues [[Successió (matemàtiques)|successions]] de [[Nombre real|nombre reals]]. Suposem que <math>(b_n)_{n \geq 1}</math> és una successió [[Funció monòtona|estrictament monòtona]] i divergent (és a dir, estrictement creixent i s'aproxima a <math> + \infty </math>, o estrictament decreixent i s'aproxima a <math> - \infty </math>) i existeix el següent [[límit]]: |
|||
* <math>b_n</math> és monòtona creixent i no fitada |
|||
:<math> \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l.\ </math> |
|||
Aleshores, el límit |
|||
:<math> \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=l.\ </math> |
|||
:<math> \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l.</math> |
|||
Aleshores, també exiteix el límit amb el mateix valor <math>l</math>: |
|||
:<math> \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=l</math> |
|||
Aquest resultat s'empra per evitar indeterminacions del tipus <math>\infty/\infty</math>. |
Aquest resultat s'empra per evitar indeterminacions del tipus <math>\infty/\infty</math>. |
||
== Enunciat del teorema per al cas {{math|0/0}} == |
|||
Siguin <math>(a_n)_{n \geq 1}</math> i <math>(b_n)_{n \geq 1}</math> dues succesions de nombre reals. Suposem ara que <math>(a_n)\to 0</math> i <math>(b_n)\to 0</math> mentre que <math>(b_n)_{n \geq 1}</math> és estrictament decreixent. Si |
|||
:<math> \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l,\ </math> |
|||
aleshores |
|||
:<math> \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=l.\ </math>{{sfn|Choudary|Nicolescu|2014|p=59-60}} |
|||
== Criteri de Stolz de l'arrel == |
== Criteri de Stolz de l'arrel == |
||
Siguin <math>\{ a_n \} \ </math> i <math> \{ b_n \} \ </math> dues successions tals que, |
Siguin <math>\{ a_n \} \ </math> i <math> \{ b_n \} \ </math> dues successions tals que, |
||
* <math>a_n > 0 , \forall n \in \mathbb{N}</math> |
* <math>a_n > 0 , \forall n \in \mathbb{N}</math> |
||
* <math>b_n \ </math> és monótona creixent i divergent <math>( b_n > 0 , \forall n)</math> |
* <math>b_n \ </math> és monótona creixent i divergent <math>( b_n > 0 , \forall n)</math> |
||
Línia 29: | Línia 27: | ||
<math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[b_n]{a_n}= \lambda</math> |
<math>\lim_{n \to \infty} \sqrt[b_n]{a_n}= \lambda</math> |
||
== |
== Demostracions == |
||
=== Demostració del teorema per al cas {{math|∙/∞}} === |
|||
* [http://planetmath.org/encyclopedia/ProofOfStolzCesaroTheorem.html Prova del teorema Stolz-Cesàro] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080130154244/http://planetmath.org/encyclopedia/ProofOfStolzCesaroTheorem.html |date=2008-01-30 }} |
|||
'''Cas 1:''' suposem que <math>(b_n)</math> estrictament creixent i divergent a <math>+\infty</math> i <math>-\infty<l<\infty</math>. Per [[hipòtesi]], tenim que per a tot <math>\epsilon/2 > 0</math> existeix <math>\nu > 0</math> tal que <math>\forall n > \nu</math> |
|||
* [https://www.matesfacil.com/UNI/progresiones/criterios/criterio-Stolz-cociente-convergencia-sucesiones-ejemplos-limites.html Exemples d'aplicació del teorema de Stolz-Cesàro] |
|||
:<math>\left|\,\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}-l\,\right| < \frac{\epsilon}{2},</math> |
|||
{{esborrany de matemàtiques}} |
|||
és a dir |
|||
:<math>l-\epsilon/2<\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}<l+\epsilon/2,\quad\forall n > \nu.</math> |
|||
Com que <math>(b_n)</math> augmenta estrictament, <math>b_{n+1}-b_n>0</math>, i es compleix el següent |
|||
:<math>(l-\epsilon/2)(b_{n+1}-b_n)<a_{n+1}-a_n<(l+\epsilon/2)(b_{n+1}-b_n), \quad\forall n > \nu</math>. |
|||
A continuació ens adonem que |
|||
:<math>a_n = [(a_n-a_{n-1})+\dots+(a_{\nu+2}-a_{\nu+1})]+a_{\nu+1}</math> |
|||
així, aplicant la [[Desigualtat matemàtica|desigualtat]] anterior a cadascun dels termes entre [[Claudàtor|claudàtors]], obtenim |
|||
:<math>\begin{align} |
|||
&(l-\epsilon/2)(b_n-b_{\nu+1})+a_{\nu+1}=(l-\epsilon/2)[(b_n-b_{n-1})+\dots+(b_{\nu+2}-b_{\nu+1})]+a_{\nu+1}<a_n\\ |
|||
&a_n<(l+\epsilon/2)[(b_n-b_{n-1})+\dots+(b_{\nu+2}-b_{\nu+1})]+a_{\nu+1}= (l+\epsilon/2)(b_n-b_{\nu+1})+a_{\nu+1}.\end{align}</math> |
|||
Ara, com que <math>b_n\to+\infty</math> amb <math>n\to\infty</math>, hi ha un <math>n_0>0</math> tal que <math>b_n>0 </math> per a tots els <math>n>n_0</math>, i podem dividir les dues desigualtats per <math>b_n</math> per a tots els <math>n>\max\{\nu,n_0\} </math> |
|||
:<math>(l-\epsilon/2)+\frac{a_{\nu+1}-b_{\nu+1}(l-\epsilon/2)}{b_n}<\frac{a_n}{ b_n}<(l+\epsilon/2)+\frac{a_{\nu+1}-b_{\nu+1}(l+\epsilon/2)}{b_n}.</math> |
|||
Les dues successios (que només es defineixen per a <math>n>n_0</math> ja que podria haver-hi un <math>N\leq n_0</math> tal que <math>b_N=0</math>) |
|||
:<math>c^{\pm}_n:=\frac{a_{\nu+1}-b_{\nu+1}(l\pm\epsilon/2)}{b_n}</math> |
|||
són [[Mètodes infinitesimals|infinitesimals]] ja que <math>b_n\to+\infty</math> i el numerador és un [[Constant (matemàtiques)|nombre constant]], per tant, per a tot <math>\epsilon/2>0</math> existeix <math>n_{\pm}> n_0>0</math>, de manera que |
|||
:<math>\begin{align} |
|||
&|c^+_n|<\epsilon/2,\quad\forall n > n_+,\\ |
|||
&|c^-_n|<\epsilon/2,\quad\forall n > n_-, |
|||
\end{align}</math> |
|||
per tant |
|||
:<math>l-\epsilon < l-\epsilon/2+c^-_n < \frac{a_n}{b_n} <l+\epsilon/2+c^+_n<l+\epsilon,\quad\forall n > \max\lbrace\nu,n_{\pm}\rbrace =: N > 0,</math> |
|||
que conclou la prova. |
|||
El cas amb <math>(b_n)</math> estrictament decreixent i divergent a <math>-\infty</math>, i <math>l<\infty</math> és similar. |
|||
'''Cas 2:''' suposem que <math>(b_n)</math> estrictament creixent i divergent a <math>+\infty</math> i <math>l=+\infty</math> . Seguint com abans, per a tots els <math>2M > 0</math> hi ha <math>\nu > 0</math> de manera que per a tots els <math>n > \nu</math> |
|||
:<math>\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} > 2M.</math> |
|||
De nou, aplicant la desigualtat anterior a cadascun dels termes dins dels claudàtors obtenim |
|||
:<math>a_n > 2M(b_n-b_{\nu+1}) + a_{\nu+1},\quad\forall n > \nu,</math> |
|||
i |
|||
:<math>\frac{a_n}{b_n} > 2M + \frac{a_{\nu+1}-2M b_{\nu+1}}{b_n},\quad\forall n > \max\{\ nu,n_0\}.</math> |
|||
La successió <math>(c_n)_{n>n_0}</math> definida per |
|||
:<math>c_n := \frac{a_{\nu+1}-2M b_{\nu+1}}{b_n}</math> |
|||
és infinitesimal, per tant |
|||
:<math>\forall M > 0\,\exists \bar{n}>n_0>0 \text{ tal que } -M < c_n < M,\,\forall n > \bar{n},</math > |
|||
combinant aquesta desigualtat amb l'anterior concloem |
|||
:<math>\frac{a_n}{b_n} > 2M + c_n > M,\quad\forall n > \max\{\nu,\bar{n}\} =: N.</math> |
|||
Les demostracions dels altres casos amb <math>(b_n)</math> estrictament creixent o decreixent i s'acosten a <math>+\infty</math> o <math>-\infty</math> respectivament i <math>l =\pm\infty</math> tots procedeixen de la mateixa manera. |
|||
=== Demostració del teorema per al cas {{math|0/0}} === |
|||
'''Cas 1:''' primer considerem el cas amb <math>l < \infty</math> i <math>(b_n)</math> estrictament decreixents. Aquesta vegada, per cada <math>\nu > 0</math>, podem escriure |
|||
:<math>a_n = (a_n-a_{n+1})+\dots+(a_{n+\nu-1}-a_{n+\nu})+a_{n+\nu},</math> |
|||
i per a qualsevol <math>\epsilon/2>0,</math> <math>\exist n_0</math> de manera que per a tots els <math>n>n_0</math> tenim |
|||
:<math>\begin{align} |
|||
&(l-\epsilon/2)(b_n-b_{n+\nu})+a_{n+\nu} = (l-\epsilon/2)[(b_n-b_{n+1})+\dots+( b_{n+\nu-1}-b_{n+\nu})]+a_{n+\nu} <a_n\\ |
|||
&a_n < (l+\epsilon/2)[(b_n-b_{n+1})+\dots+(b_{n+\nu-1}-b_{n+\nu})]+a_{n+\nu} = ( l+\epsilon/2)(b_n-b_{n+\nu})+a_{n+\nu}.\end{align}</math> |
|||
Les dues successions |
|||
:<math>c^{\pm}_\nu := \frac{a_{n+\nu}-b_{n+\nu}(l\pm\epsilon/2)}{b_n}</math> |
|||
són infinitesimals ja que per hipòtesi <math>a_{n+\nu},b_{n+\nu} \to 0</math> amb <math>\nu\to\infty</math>, per tant, per a tots els <math>\epsilon/2 > 0</math> hi ha <math>\nu_{\pm} > 0</math> de tal manera que |
|||
:<math>\begin{align} |
|||
&|c^+_\nu| < \epsilon/2,\quad\forall \nu>\nu_+,\\ |
|||
&|c^-_\nu| < \epsilon/2,\quad\forall \nu>\nu_-, |
|||
\end{align}</math> |
|||
així, escollint <math>\nu</math> adequadament (és a dir, agafant el límit respecte a <math>\nu</math>) obtenim |
|||
:<math>l-\epsilon < l-\epsilon/2+c^-_\nu < \frac{a_n}{b_n} <l+\epsilon/2+c^+_\nu <l+\epsilon,\quad\forall n > n_0 </math> |
|||
que conclou la prova. |
|||
'''Cas 2:''' suposem que <math>l=+\infty</math> i <math>(b_n)</math> estan estrictament decreixents. Per a tots els <math>2M > 0</math> existeix <math>n_0 > 0</math> de manera que per a tots els <math>n > n_0,</math> |
|||
:<math>\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} > 2M \implies a_n-a_{n+1} > 2M(b_n-b_{n+1}) .</math> |
|||
Per tant, per a cada <math>\nu > 0,</math> |
|||
:<math>\frac{a_n}{b_n} > 2M + \frac{a_{n+\nu}-2M b_{n+\nu}}{b_n},\quad\forall n > n_0.</math> |
|||
La successió |
|||
:<math>c_{\nu} := \frac{a_{n+\nu}-2M b_{n+\nu}}{b_n}</math> |
|||
convergeix a <math>0</math> (mantenint <math>n</math> fixa). Per tant |
|||
:<math>\forall M > 0\,~\exist \bar{\nu} > 0 </math> de manera que <math>-M < c_\nu < M,\,\forall \nu > \bar{ \nu},</math> |
|||
i, escollint <math>\nu</math> convenientment, concloem la demostració |
|||
:<math>\frac{a_n}{b_n} > 2M + c_\nu > M,\quad\forall n > n_0. </math> |
|||
== Aplicacions i exemples == |
|||
El teorema sobre el cas <math>\cdot/\infty</math> té unes quantes conseqüències notables que són útils en el càlcul de límits. |
|||
===Sumatori aritmètic=== |
|||
Sigui <math>(x_n)</math> una successió de nombres reals que convergeix a <math>l</math>, definim |
|||
:<math>a_n:=\sum_{m=1}^nx_m=x_1+\dots+x_n,\quad b_n:=n</math> |
|||
aleshores <math>(b_n)</math> és estrictament creixent i divergeix a <math>+\infty</math>. Calculem |
|||
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim_{n\to\infty} x_{n+1}=\lim_{n\to\infty} x_n=l</math> |
|||
per tant |
|||
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{x_1+\dots+ x_n}{n}=\lim_{n\to\infty}x_n.</math> |
|||
<blockquote>''Donada qualsevol successió <math>(x_n)_{n\geq 1}</math> de nombres reals, suposem que'' |
|||
::<math>\lim_{n\to\infty}x_n</math> |
|||
''(finit o infinit), llavors existeix'' |
|||
::<math>\lim_{n\to\infty}\frac{x_1+\dots+x_n}{n}=\lim_{n\to\infty}x_n.</math></blockquote> |
|||
===Sumatori geomètric=== |
|||
Sigui <math>(x_n)</math> una successió de nombres reals positius que convergeixen a <math>l</math> i definim |
|||
:<math>a_n:=\log(x_1\cdots x_n),\quad b_n:=n,</math> |
|||
tornem a calcular |
|||
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim_{n\to\infty}\log\Big(\frac{x_1\cdots x_{n+1}}{x_1\cdots x_n}\Big)=\lim_{n\to\infty}\log(x_{n+1})=\lim_{n\to\infty}\log(x_n)=\log(l),</math> |
|||
on hem utilitzat el fet que el [[logaritme]] és continu. Així |
|||
:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{\log(x_1\cdots x_n)}{n}=\lim_{n\to\infty}\log\Big((x_1\cdots x_n)^{\frac{1}{n}}\Big)=\log(l),</math> |
|||
com que el logaritme és alhora [[Funció contínua|continu]] i [[Funció injectiva|injectiu]] podem concloure que |
|||
:<math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}=\lim_{n\to\infty}x_n</math>. |
|||
<blockquote>''Donada qualsevol successió <math>(x_n)_{n\geq 1}</math> de nombres reals (estrictament) positius, suposem que'' |
|||
::<math>\lim_{n\to\infty}x_n</math> |
|||
''existeix (finit o infinit), doncs'' |
|||
::<math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}=\lim_{n\to\infty}x_n.</math></blockquote> |
|||
Suposem que se'ns dóna una successió <math>(y_n)_{n\geq1}</math> i se'ns demana que calculem |
|||
:<math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{y_n},</math> |
|||
definint <math>y_0=1</math> i <math>x_n=y_n/y_{n-1}</math> obtenim |
|||
:<math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_1\dots x_n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{y_1\dots y_{n}}{y_0\cdot y_1\dots y_{n-1}}}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{y_n},</math> |
|||
si apliquem la propietat anterior |
|||
:<math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{y_n}=\lim_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty}\frac{y_n}{y_{n-1}}.</math> |
|||
Aquesta última forma sol ser la més útil per calcular límits |
|||
<blockquote>''Donada qualsevol successió <math>(y_n)_{n\geq 1}</math> de nombres reals (estrictament) positius, suposem que'' |
|||
::<math>\lim_{n\to\infty}\frac{y_{n+1}}{y_{n}}</math> |
|||
''existeix (finit o infinit), doncs'' |
|||
::<math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{y_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{y_{n+1}}{y_{n}}.</math></blockquote> |
|||
=== Exemples === |
|||
==== Exemple 1 ==== |
|||
:<math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=1.</math> |
|||
====Exemple 2==== |
|||
:<math>\begin{align} |
|||
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}&=\lim_ {n\to\infty}\frac{(n+1)!(n^n)}{n!(n+1)^{n+1}}\\ |
|||
&=\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n+1)^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}=\frac{1}{e} |
|||
\end{align}</math> |
|||
on hem utilitzat la representació de <math>e</math> [[Llista fòrmules amb e|com a límit d'una successió]]. |
|||
== Història == |
|||
El cas ∞/∞ està enunciat i provat a les pàgines 173-175 del llibre de Stolz de 1885{{sfn|Stolz|1885|p=173-175}} i també a la pàgina 54 de l'article de Cesàro de 1888.{{sfn|Cesàro|1888|p=49-59}} |
|||
Apareix com el problema 70 a [Pólya, Szegő 1925].{{sfn|Pólya|Szegő|1925}} |
|||
== La forma general== |
|||
===Enunciat=== |
|||
La forma general del teorema de Stolz–Cesàro és la següent:<ref>{{ref-web |url=http://www.imomath.com/index.php?options=686 |títol=Hôpital's rule and Stolz-Cesàro theorem |obra=Imomath |llengua=anglès}}</ref> Si <math> (a_n)_{n\geq 1}</math> i <math> (b_n)_{n\geq 1}</math> són dues successions tals que <math>(b_n)_{n \geq 1}</math> és monòton i no fitat: |
|||
:<math>\liminf_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\leq \liminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}.</math> |
|||
=== Demostració === |
|||
En lloc de demostrar l'afirmació anterior, en demostrarem una lleugerament diferent; primer introduïm una notació: sigui <math>(a_n)_{n\geq1}</math> qualsevol successió, la seva suma parcial es denotarà per <math>A_n:=\sum_{m\geq1}^na_m</math>. L'enunciat equivalent que demostrarem és: |
|||
<blockquote>''Siguin <math>(a_n)_{n\geq1},(b_n)_{\geq1}</math> dues successions qualsevol de [[Nombre real|nombres reals]] tals que'' |
|||
* <math> b_n > 0, \quad \forall n\in {\mathbb{Z}}_{>0}</math>, |
|||
* <math>\lim_{n\to\infty}B_n=+\infty</math>, |
|||
''llavors'' |
|||
:<math>\liminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\leq\liminf_{n\to\infty}\frac{A_n}{B_n}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{A_n}{B_n}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}.</math> |
|||
</blockquote> |
|||
==== Prova de l'enunciat equivalent ==== |
|||
Primer observem que: |
|||
*<math>\liminf_{n\to\infty}\frac{A_n}{B_n}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{A_n}{B_n}</math> sosté per definició de [[límit superior i límit inferior]]; |
|||
*<math>\liminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\leq\liminf_{n\to\infty}\frac{A_n}{B_n}</math> es manté [[si i només si]] <math>\limsup_{n\to\infty}\frac{A_n}{B_n}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}</math> perquè <math>\liminf_{n\to\infty} x_n=-\limsup_{n\to\infty}(-x_n)</math> per a qualsevol successió <math>(x_n)_{n\geq1}</math>. |
|||
Per tant, només hem de demostrar que <math>\limsup_{n\to\infty}\frac{A_n}{B_n}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}</math>. Si <math>L:=\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=+\infty</math> no hi ha res a demostrar, per tant podem suposar <math>L<+\infty</math> (pot ser finit o <math>-\infty</math>). Per definició de <math>\limsup</math>, per a tot <math>l > L</math> hi ha un nombre natural <math>\nu>0</math> de tal manera que |
|||
: <math> \frac{a_n}{b_n}<l,\quad\forall n>\nu.</math> |
|||
Podem utilitzar aquesta [[Desigualtat matemàtica|desigualtat]] per escriure |
|||
:<math>A_n = A_\nu + a_{\nu + 1} + \dots + a_n < A_\nu + l(B_n - B_\nu), \quad\forall n > \nu,</math> |
|||
Perquè <math>b_n>0</math>, també tenim <math>B_n>0</math> i podem dividir per <math>B_n</math> per aconseguir |
|||
:<math>\frac{A_n}{B_n} < \frac{A_\nu - lB_\nu}{B_n} + l, \quad \forall n > \nu.</math> |
|||
A partir que <math>B_n\to+\infty</math> amb <math>n\to+\infty</math>, la successió |
|||
:<math>\frac{A_{\nu}-lB_{\nu}}{B_n}\to0\text{ amb } n\to+\infty \text{ (mantenint }\nu\text{ fix)},</math> |
|||
i obtenim |
|||
:<math>\limsup_{n\to\infty} \frac{A_n}{B_n} \le l, \quad\forall l > L,</math> |
|||
Per definició de [[Infimum and supremum|límit superior mínim]], això significa precisament això |
|||
:<math>\limsup_{n\to\infty}\frac{A_n}{B_n}\leq L=\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n},</math> |
|||
i hem acabat. |
|||
==== Prova de l'enunciat original ==== |
|||
Ara, prenem <math>(a_n),(b_n)</math> com en l'enunciat de la forma general del teorema de Stolz-Cesàro i definim |
|||
:<math>\alpha_1=a_1,\alpha_k=a_k-a_{k-1},\,\forall k>1\quad\beta_1=b_1,\beta_k=b_k-b_{k-1}\,\forall k>1</math> |
|||
a partir que <math>(b_n)</math> és estrictament monòton (podem suposar que augmenta estrictament, per exemple), <math>\beta_n>0</math> per a tot <math>n</math> i a partir que <math>b_n\to+\infty</math> també <math>\Beta_n=b_1+(b_2-b_1)+\dots+(b_n-b_{n-1})=b_n\to+\infty</math>, així podem aplicar el teorema que acabem de demostrar <math>(\alpha_n),(\beta_n)</math> (i les seves sumes parcials <math>(\Alpha_n),(\Beta_n)</math>) |
|||
:<math>\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_{n}}=\limsup_{n\to\infty}\frac{\Alpha_n}{\Beta_n}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{\alpha_n}{\beta_n}=\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}},</math> |
|||
que és exactament el que volíem demostrar. |
|||
== Referències == |
|||
{{referències}} |
|||
== Bibliografia == |
|||
{{Div col|cols=2}} |
|||
* {{ref-llibre |cognom = Cesàro |nom = Ernesto | enllaçautor = Ernesto Cesàro |editorial = Nouvelles Annales de Mathématiques |pàgina = 49-59 |col·lecció = Series 3 |títol= Sur la convergence des séries |volum = 7 |any = 1888 |llengua=francès}} |
|||
* {{ref-llibre |nom=A. D. R |cognom=Choudary |nom2=Constantin |cognom2=Niculescu |títol=Real Analysis on Intervals |editorial=Springer |any=2014 |isbn=978-81-322-2147-0 |pàgina=59-62 |llengua=anglès}} |
|||
* {{ref-publicació |nom=J |cognom= Marshall Ash |nom2=Allan |cognom2=Berele |nom3=Stefan |cognom3=Catoiu |article=Plausible and Genuine Extensions of L’Hospital's Rule |publicació= Mathematics Magazine |volum=85(1) |data=febrer de 2012 |pàgina=52-60 |jstor=10.4169/math.mag.85.1.52 |llengua=anglès}} |
|||
* {{ref-llibre |cognom = Mureşan |nom = Marian | isbn = 978-0-387-78932-3 |lloc = Berlin |pàgina = 85-88 |editorial = [[Springer Science+Business Media|Springer]] |títol = A Concrete Approach to Classical Analysis |any = 2008 |llengua=anglès}} |
|||
* {{ref-llibre |cognom = Pólya |nom = George | enllaçautor= George Pólya |cognom2 = Szegő |nom2 = Gábor | enllaçautor2= Gábor Szegő |lloc = Berlin |editorial = [[Springer Science+Business Media|Springer]] |títol = Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis |volum = I |any = 1925 |llengua=alemany}} |
|||
* {{ref-llibre |cognom = Stolz |nom = Otto | enllaçautor= Otto Stolz |lloc = Leipzig |pàgina = 173-175 |editorial = Teubners |títol = Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten |any = 1885 |llengua=alemany}} |
|||
{{Div col end}} |
|||
{{ORDENA: |
{{ORDENA:Stolz-Cesàreo, Teorema de}} |
||
{{autoritat}} |
|||
[[Categoria:Teoremes d'anàlisi matemàtica|Stolz-Cesaro]] |
[[Categoria:Teoremes d'anàlisi matemàtica|Stolz-Cesaro]] |
Revisió del 03:27, 26 maig 2022
En matemàtiques, el teorema de Stolz-Cesàro és un criteri per demostrar la convergència d'una successió. El teorema porta el nom dels matemàtics Otto Stolz i Ernesto Cesàro, que ho van afirmar i demostrar per primera vegada.
El teorema de Stolz–Cesàro es pot veure com una generalització de la sumació de Cesàro, però també com una regla de L'Hôpital per a successions.
Enunciat del teorema per al cas ∙/∞
Siguin i dues successions de nombre reals. Suposem que és una successió estrictament monòtona i divergent (és a dir, estrictement creixent i s'aproxima a , o estrictament decreixent i s'aproxima a ) i existeix el següent límit:
Aleshores, el límit
Aquest resultat s'empra per evitar indeterminacions del tipus .
Enunciat del teorema per al cas 0/0
Siguin i dues succesions de nombre reals. Suposem ara que i mentre que és estrictament decreixent. Si
aleshores
Criteri de Stolz de l'arrel
Siguin i dues successions tals que,
- és monótona creixent i divergent
Aleshores,
Demostracions
Demostració del teorema per al cas ∙/∞
Cas 1: suposem que estrictament creixent i divergent a i . Per hipòtesi, tenim que per a tot existeix tal que
és a dir
Com que augmenta estrictament, , i es compleix el següent
- .
A continuació ens adonem que
així, aplicant la desigualtat anterior a cadascun dels termes entre claudàtors, obtenim
Ara, com que amb , hi ha un tal que per a tots els , i podem dividir les dues desigualtats per per a tots els
Les dues successios (que només es defineixen per a ja que podria haver-hi un tal que )
són infinitesimals ja que i el numerador és un nombre constant, per tant, per a tot existeix , de manera que
per tant
que conclou la prova.
El cas amb estrictament decreixent i divergent a , i és similar.
Cas 2: suposem que estrictament creixent i divergent a i . Seguint com abans, per a tots els hi ha de manera que per a tots els
De nou, aplicant la desigualtat anterior a cadascun dels termes dins dels claudàtors obtenim
i
La successió definida per
és infinitesimal, per tant
combinant aquesta desigualtat amb l'anterior concloem
Les demostracions dels altres casos amb estrictament creixent o decreixent i s'acosten a o respectivament i tots procedeixen de la mateixa manera.
Demostració del teorema per al cas 0/0
Cas 1: primer considerem el cas amb i estrictament decreixents. Aquesta vegada, per cada , podem escriure
i per a qualsevol de manera que per a tots els tenim
Les dues successions
són infinitesimals ja que per hipòtesi amb , per tant, per a tots els hi ha de tal manera que
així, escollint adequadament (és a dir, agafant el límit respecte a ) obtenim
que conclou la prova.
Cas 2: suposem que i estan estrictament decreixents. Per a tots els existeix de manera que per a tots els
Per tant, per a cada
La successió
convergeix a (mantenint fixa). Per tant
- de manera que
i, escollint convenientment, concloem la demostració
Aplicacions i exemples
El teorema sobre el cas té unes quantes conseqüències notables que són útils en el càlcul de límits.
Sumatori aritmètic
Sigui una successió de nombres reals que convergeix a , definim
aleshores és estrictament creixent i divergeix a . Calculem
per tant
Donada qualsevol successió de nombres reals, suposem que
(finit o infinit), llavors existeix
Sumatori geomètric
Sigui una successió de nombres reals positius que convergeixen a i definim
tornem a calcular
on hem utilitzat el fet que el logaritme és continu. Així
com que el logaritme és alhora continu i injectiu podem concloure que
- .
Donada qualsevol successió de nombres reals (estrictament) positius, suposem que
existeix (finit o infinit), doncs
Suposem que se'ns dóna una successió i se'ns demana que calculem
definint i obtenim
si apliquem la propietat anterior
Aquesta última forma sol ser la més útil per calcular límits
Donada qualsevol successió de nombres reals (estrictament) positius, suposem que
existeix (finit o infinit), doncs
Exemples
Exemple 1
Exemple 2
on hem utilitzat la representació de com a límit d'una successió.
Història
El cas ∞/∞ està enunciat i provat a les pàgines 173-175 del llibre de Stolz de 1885[2] i també a la pàgina 54 de l'article de Cesàro de 1888.[3]
Apareix com el problema 70 a [Pólya, Szegő 1925].[4]
La forma general
Enunciat
La forma general del teorema de Stolz–Cesàro és la següent:[5] Si i són dues successions tals que és monòton i no fitat:
Demostració
En lloc de demostrar l'afirmació anterior, en demostrarem una lleugerament diferent; primer introduïm una notació: sigui qualsevol successió, la seva suma parcial es denotarà per . L'enunciat equivalent que demostrarem és:
Siguin dues successions qualsevol de nombres reals tals que
- ,
- ,
llavors
Prova de l'enunciat equivalent
Primer observem que:
- sosté per definició de límit superior i límit inferior;
- es manté si i només si perquè per a qualsevol successió .
Per tant, només hem de demostrar que . Si no hi ha res a demostrar, per tant podem suposar (pot ser finit o ). Per definició de , per a tot hi ha un nombre natural de tal manera que
Podem utilitzar aquesta desigualtat per escriure
Perquè , també tenim i podem dividir per per aconseguir
A partir que amb , la successió
i obtenim
Per definició de límit superior mínim, això significa precisament això
i hem acabat.
Prova de l'enunciat original
Ara, prenem com en l'enunciat de la forma general del teorema de Stolz-Cesàro i definim
a partir que és estrictament monòton (podem suposar que augmenta estrictament, per exemple), per a tot i a partir que també , així podem aplicar el teorema que acabem de demostrar (i les seves sumes parcials )
que és exactament el que volíem demostrar.
Referències
- ↑ Choudary i Nicolescu, 2014, p. 59-60.
- ↑ Stolz, 1885, p. 173-175.
- ↑ Cesàro, 1888, p. 49-59.
- ↑ Pólya i Szegő, 1925.
- ↑ «Hôpital's rule and Stolz-Cesàro theorem» (en anglès). Imomath.
Bibliografia
- Cesàro, Ernesto. Sur la convergence des séries (en francès). 7. Nouvelles Annales de Mathématiques, 1888, p. 49-59 (Series 3).
- Choudary, A. D. R; Niculescu, Constantin. Real Analysis on Intervals (en anglès). Springer, 2014, p. 59-62. ISBN 978-81-322-2147-0.
- Marshall Ash, J; Berele, Allan; Catoiu, Stefan «Plausible and Genuine Extensions of L’Hospital's Rule» (en anglès). Mathematics Magazine, 85(1), febrer 2012, pàg. 52-60. JSTOR: 10.4169/math.mag.85.1.52.
- Mureşan, Marian. A Concrete Approach to Classical Analysis (en anglès). Berlin: Springer, 2008, p. 85-88. ISBN 978-0-387-78932-3.
- Pólya, George; Szegő, Gábor. Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis (en alemany). I. Berlin: Springer, 1925.
- Stolz, Otto. Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten (en alemany). Leipzig: Teubners, 1885, p. 173-175.