Conjunt perfecte

En topologia, un conjunt perfecte és un subconjunt tancat tal que tots els seus punts són punts d'acumulació (és a dir, el conjunt manca de punts aïllats).

Caracterització

Siga S un conjunt i S′ el conjunt dels seus punts d'acumulació. Note's que un conjunt S d'un espai topològic és tancat quan $S'\subseteq S$, és a dir, quan $S$ conté tots els seus punts d'acumulació. Dos conjunts S i T estan separats quan són disjunts i quan els conjunts derivats, formats pels seus punts d'acumulació, també són disjunts. En aquestes condicions, el conjunt S és un conjunt perfecte si S = S′. Això equival a la definició original, un conjunt és perfecte si és un conjunt tancat sense punts aïllats.

Propietats

• Els conjunts perfectes són importants en les aplicacions del teorema de categories de Baire.
• Un conjunt perfecte d'$\mathbb {R} ^{n}$ és necessàriament no numerable.
• El conjunt X^º dels punts de condensació d'X és un conjunt perfecte, i.e. tancat i dens.

Exemples

• En $\mathbb {R}$, qualsevol unió finita d'intervals tancats de la forma $[a_{i},b_{i}]\subset R$ és un conjunt perfecte.
• El conjunt de Cantor és un conjunt perfecte, i per tant no numerable.

Bibliografia

• Kechris, A. S.. Classical Descriptive Set Theory. Springer-Verlag, 1995. ISBN 978-0-387-94374-9.