Descomposició de Schur

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En la disciplina matemàtica de l'àlgebra lineal, la descomposició de Schur o triangulació de Schur és una descomposició de matrius. Rep aquest nom pel matemàtic Issai Schur.

Enunciat[modifica | modifica el codi]

La descomposició de Schur té el següent enunciat: si A és una matriu quadrada n×n a entrades complexes, llavors A es pot expressar com[1][2]

 A = Q U Q^{-1}

on Q és una matriu unitària (de tal manera que la seva inversa Q−1 és també la seva transposada conjugada Q* de Q), i U és una matriu triangular superior, anomenada forma de Schur de A. Com que U és semblant a A, té el mateix multiconjunt de valors propis, i com que és triangular, aquests valors propis són precisament les entrades de la diagonal de U.

La descomposició de Schur implica que existeix una seqüència imbricada[3] de subespais invariants per A: {0} = V0V1 ⊂ ... ⊂ Vn = ℂn, i que existeix una base ortonormal (per la forma hermítica estàndard de ℂn), tals que els primers i vectors de la base generen els Vi, amb i a la seqüència imbricada. Reformulat d'una altra manera, la primera part ens diu que una aplicació lineal J sobre un espai vectorial complex de dimensió finita estabilitza una bandera completa (V1,...,Vn).

Demostració[modifica | modifica el codi]

Vegem-ne ara una demostració constructiva: tot operador A sobre un espai vectorial complex de dimensió finita té un valor propi λ, corresponent a un espai propi Vλ. Sigui Vλ el seu complement ortogonal. És senzill veure que, respecte a aquesta descomposició ortogonal, A té la representació (hom pot escollir bases ortonormals qualssevol que generin Vλ i Vλ respectivament)

A = \begin{bmatrix} \lambda \, I_{\lambda} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{bmatrix}: 
\begin{matrix}
V_{\lambda} \\
\oplus \\
V_{\lambda}^{\perp}
\end{matrix}
\rightarrow
\begin{matrix}
V_{\lambda} \\
\oplus \\
V_{\lambda}^{\perp}
\end{matrix}

on Iλ és l'operador identitat a Vλ. La matriu anterior seria triangular superior excepte pel bloc A22. Però podem seguir el mateix procediment per la submatriu A22, vista com un operador sobre Vλ, i les seves submatrius. Continuem successivament n cops. Així, esgotarem l'espai ℂn i el procediment ens donarà el resultat desitjat.

Podem reformular lleugerament l'argument anterior d'aquesta manera: sigui λ un valor propi de A, corresponent a un espai propi Vλ. A indueix un operador T en l'espai vectorial quocientn mòdul Vλ. Aquest operador és precisament la submatriu A22 que hem vist abans. Anàlogament, T tindria un espai propi, diem-ne Wμ ⊂ ℂn mòdul Vλ. Notem que la antiimatge de Wμ per l'aplicació quocient és un subespai invariant de A que conté Vλ. Continuem fins que l'espai quocient resultant tingui dimensió 0. Aleshores, les successives antiimatges dels espais propis que hem trobat en cada pas formen una bandera estabilitzada per A.

Notes[modifica | modifica el codi]

Encara que és cert que tota matriu quadrada té una descomposició de Schur, en general aquesta descomposició no és única. Per exemple, l'espai propi Vλ pot tenir dimensió > 1, i en aquest cas qualsevol base ortonormal de Vλ ens portaria al resultat desitjat.

Escrivim la matriu triangular U com U = D + N, on D és diagonal i N és triangular superior estricta (és a dir, té zeros a la diagonal; per tant és una matriu nilpotent). La matriu diagonal D conté els valors propis de A en un ordre arbitrari (d'aquí, el quadrat de la seva norma de Frobenius és igual a la suma dels quadrats dels valors propis de A, mentre que el quadrat de la norma de Frobenius de A és la suma dels quadrats dels valors singulars de A). La part nilpotent N, en general, tampoc no és única, però la seva norma de Frobenius està determinada unívocament per A (ja que la norma de Frobenius de A és igual a la norma de Frobenius de U = D + N).

És senzill veure que, si A és una matriu normal, llavors U ha de ser una matriu diagonal i els vectors columna de Q són els vectors propis de A. Per tant, la descomposició de Schur generalitza la descomposició espectral. En particular, si A és definida positiva, llavors coincideixen la descomposició de Schur de A, la seva descomposició espectral i la seva descomposició en valors singulars.

Hom pot triangularitzar simultàniament una família commutativa de matrius {Ai}, és a dir, existeix una matriu unitària Q tal que, per qualsevol Ai de la família, es compleix que Q Ai Q* és triangular superior. Això és una conseqüència directa de la demostració anterior. Prenem un element (una matriu) A de {Ai} i de nou considerem un espai propi VA. Llavors VA és invariant per totes les matrius a {Ai}. Per tant, totes les matrius de {Ai} han de compartir un vector propi en comú a VA. La resta de l'argument es demostra per inducció. Com a corol·lari, tenim que tota família commutativa de matrius normals pot ser diagonalitzable de forma simultània.

En el cas de dimensió infinita, no tot operador afitat d'un espai de Banach té un subespai invariant. No obstant, la triangularització superior d'una matriu quadrada arbitrària es pot generalitzar a operadors compactes. Tot operador compacte en un espai de Banach complex té una filtració de subespais invariants tancats.

Aplicacions[modifica | modifica el codi]

Algunes aplicacions a la Teoria de Lie són:

Descomposició de Schur generalitzada[modifica | modifica el codi]

Donades dues matrius quadrades A i B, la descomposició de Schur generalitzada descompon ambdues matrius com A=QSZ^* i B=QTZ^*, on Q i Z són matrius unitàries, i S i T son triangulars superiors. També es diu que la descomposició de Schur generalitzada és la descomposició QZ.[2]

Els valors propis generalitzats \lambda que són solució del problema generalitzat dels valors propis Ax=\lambda Bx (on x és un vector desconegut no-nul) es poden calcular com el quocient dels elements de la diagonal de S entre els de T. És a dir, usant subíndexs per indicar elements de matrius, l'i-sim valor propi generalitzat \lambda_i satisfà \lambda_i=S_{ii}/T_{ii}.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Johnson, Roger A. Horn; Charles R.. Matrix analysis. 19. print.. Cambridge [u.a.]: Cambridge Univ. Press, 2005. ISBN 9780521386326 [Consulta: 1 juliol 2013]. 
  2. 2,0 2,1 Loan, Gene H. Golub; Charles F. Van. Matrix computations. 3. ed.. Baltimore, Md. [u.a.]: Johns Hopkins Univ. Press, 1996. ISBN 0801854148. 
  3. imbricat al Gran Diccionari de la Llengua Catalana