Dinàmica relativista

La dinàmica relativista es refereix a una combinació de conceptes relativistes i quàntics que descriuen les relacions entre el moviment i les propietats d’un sistema relativista i les forces que actuen sobre el sistema. Apareix amb la teoria de la Relativitat (Einstein, 1905) que va redefinir les relacions bàsiques d'espai i temps, així com la variació de la massa en funció de la velocitat, qüestió fonamental per a obtenir la relació d'equivalència general entre massa i energia: E = M c².

Aquesta variació de la massa ocasiona resultats ben diferents entre la dinàmica clàssica i la relativista.

Dinàmica newtoniana

Amb la invenció del Càlcul Diferencial (Isaac Newton, 1666) obté el tractament de la nova Mecànica newtoniana:

F = m · a a = ∂v/∂t v = ∂e/∂t

P = m · v ∂P = m ∂v = F ∂t

Dinàmica relativista

Un concepte central en Relativitat és la variació de la massa inercial, conseqüència de les transformacions espaciotemporal de Lorentz, deduïdes per Einstein en la teoria de la Relativitat Especial:

massa en repòs: m

massa inercial: M = ɣ m ɣ = (1 – v²/c²)-1/2

Desenvolupament de ∂P = ∂(M v)

∂P = ∂M v + M ∂v = m ∂ɣ v + ɣ m ∂v = m (ɣ' ∂v v + ɣ ∂v) = m ∂v (ɣ' v + ɣ) 

Calculem el terme: ɣ' v + ɣ

Com que: ɣ' = -1/2 (1 – v²/c²)^-3/2 (-2 v/c²) = ɣ³ v/c²

ɣ' v + ɣ = ɣ³ v²/c² + ɣ = ɣ (ɣ² v²/c² + 1) = ɣ (c²/(c² - v²) v²/c² + 1) =

= ɣ (v²/(c² - v²) + 1) = ɣ (v² + c² - v²)/(c² - v²)) = ɣ c²/(c² - v²)) = ɣ ɣ² = ɣ³

Per tant, s'obté:

 ∂P = m ɣ³ ∂v = M ɣ² ∂v (1)

Ara s'aïlla ∂v/∂t igualant 1 i l'equació de Newton ∂P = F ∂t:

 ∂v/∂t = F/(M ɣ²) (2)

Hem obtingut l'equació anàloga en la dinàmica no relativista:

a = F/(M ɣ²) = F/M (1 – v²/c²)

Energia relativista

Es veu l'expressió de l'energia cinètica aïllant F en 2:

E = ʃ F ∂e = ʃ M ɣ² ∂v/∂t ∂e =

=ʃv m ɣ³ ∂e/∂t ∂v = m ʃv ɣ³ v ∂v =

= m ʃv (1 – v²/c²)-3/2 v ∂v = -c²/2 m ʃv (1 – v²/c²)-3/2 (-2v/c²) ∂v =

= -2 (-c² m)/2 [(1 – v²/c²)-1/2]ov = m c² (ɣ – 1) =

= m ɣ c² – m c² = M c² – m c² =

= (M – m) c²

Aquest resultat va disparar la intuïció del gran físic Albert Einstein, adonant-se que tota forma d'energia tenia idèntica expressió: equivalència general d'energia i massa. Després, copsaria la importància de la reformulació de la teoria de la Relativitat Especial que va fer el geòmetra Hermann Minkowski: rotacions ortogonals en mètrica pseudo-euclídia.

Finalment, s'enfrontaria a la tasca de formular la gravitació generalitzant la idea de Minkowski en la geometria no-euclídia del matemàtic Bernhard Riemann: mètrica pseudo-riemaniana, en què s'interpreta la gravitació en termes de curvatura de l'espaitemps. Hermann Minkowski havia mort prematurament, però la col·laboració del seu col·lega, el matemàtic David Hilbert, amb Einstein seria clau en la formulació final del tractament geomètric de la gravitació: Relativitat General.