Integració per substitució trigonomètrica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, la substitució trigonomètrica és la substitució d'altres expressions per expressions trigonomètriques. Es poden fer servir les identitats trigonomètriques per simplificar integrals que contenen expressions radicals:

1-\sin^2\theta\;=\;\cos^2\theta\text{ per }\sqrt{a^2-x^2}
1+\tan^2\theta\;=\;\sec^2\theta\text{ per }\sqrt{a^2+x^2}
\sec^2\theta-1\;=\;\tan^2\theta\text{ per }\sqrt{x^2-a^2}

En l'expressió a2x2, la substitució de a sin(θ) per x fa possible d'emprar la identitat 1 − sin2θ = cos2θ.

En l'expressió a2 + x2, la substitució de a tan(θ) per x fa possible de fer servir la identitat tan2θ + 1 = sec2θ.

De forma similar, en x2a2, la substitució de a sec(θ) per x fa possible utilitzar la identitat sec2θ − 1 = tan2θ.

Exemples[modifica | modifica el codi]

Integrals que contenen a2x2[modifica | modifica el codi]

A la integral

\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}

Es pot emprar

x=a\sin(\theta)\ \ \mbox{per}\ \mbox{tant}\ \arcsin(x/a)=\theta,
dx=a\cos(\theta)\,d\theta,
a^2-x^2=a^2-a^2\sin^2(\theta)=a^2(1-\sin^2(\theta))=a^2\cos^2(\theta),

Així la integral esdevé

\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int\frac{a\cos(\theta)\,d\theta}{\sqrt{a^2\cos^2(\theta)}}
=\int d\theta=\theta+C=\arcsin(x/a)+C

(Fixeu-vos que el pas anterior requereix que sigui a > 0 i cos(θ) > 0; es pot triar que a sigui l'arrel quadrada positiva de a2; i imposar la restricció a θ de ser −π/2 < θ < π/2 a base d'usar la funció arcsin().)

Per a una integral definida, cal analitzar com canvien els límits d'integració. Per exemple, si x va de 0 a a/2, llavors sin(θ) va de 0 a 1/2, per tant θ va de 0 a π/6. Llavors es té

\int_0^{a/2}\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}
=\int_0^{\pi/6}d\theta=\frac{\pi}{6}.

(Aneu amb compte al triar els límits. La integració de la secció anterior requereix que −π/2 < θ < π/2, per tant, l'única possibilitat és que θ vagi de 0 a π/6. Si es descuidés aquesta restricció, es podria haver triat que θ anés de π a 5π/6, lo qual hauria donat un resultat negatiu.)

Integrals que contenen a2 + x2[modifica | modifica el codi]

A la integral

\int\frac{1}{a^2+x^2}\,dx

es pot escriure

x=a\tan(\theta)\ \ \mbox{per}\ \mbox{tant}\ \theta=\arctan(x/a),
dx=a\sec^2(\theta)\,d\theta,
a^2+x^2=a^2+a^2\tan^2(\theta)=a^2(1+\tan^2(\theta))
=a^2\sec^2(\theta),
x/a=\tan(\theta),

així la integral esdevé

\int\frac{1}{a^2\sec^2(\theta)}\,a\sec^2(\theta)\,d\theta
=\frac{1}{a}\int\,d\theta=\frac{\theta}{a}+C=\frac{1}{a}\arctan(x/a)+C

(donat que a > 0).

Integrals que contenen x2a2[modifica | modifica el codi]

integrals com

 \int \frac{dx}{x^2 - a^2}

S'haurien de resoldre amb els mètodes de integració de funcions racionals en comptes de provar de resoldre-les per substitucions trigonomètriques.

La integral

 \int \sqrt{x^2 - a^2}\,dx

Es pot resoldre per substitució

 \begin{align}
x &{}= a \sec\theta, \\
dx &{}= a \sec\theta\tan\theta\,d\theta, \\
x^2 - a^2 &{}= a^2 \tan^2\theta.
\end{align}

Això inclourà la integral de la secant al cub.

Substitucions que eliminen funcions trigonomètriques[modifica | modifica el codi]

La substitució es pot fer servir per eliminar funcions trigonomètriques. Per exemple,

\int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int\frac1{\pm\sqrt{1-u^2}}f\left(u,\pm\sqrt{1-u^2}\right)\,du, \qquad \qquad u=\sin x
\int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int\frac{-1}{\pm\sqrt{1-u^2}}f\left(\pm\sqrt{1-u^2},u\right)\,du \qquad \qquad u=\cos x

(però cal anar amb compte amb els signes)

\int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int\frac2{1+u^2} f\left(\frac{2u}{1+u^2},\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)\,du \qquad \qquad u=\tan\frac x2
\int\frac{\cos x}{(1+\cos x)^3}\,dx
=\int\frac2{1+u^2}\frac{\frac{1-u^2}{1+u^2}}{\left(1+\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)^3}\,du
\begin{align}
& {} = \frac14\int(1-u^4)\,du
= \frac14\left(u-\frac15u^5\right)+C \\ \\
& {} = \frac{(1+3\cos x+\cos^2x)\sin x}{5(1+\cos x)^3}+C
\end{align}

Vegeu també[modifica | modifica el codi]