Integral de la secant al cub

Una de les integrals indefinides més difícils de calcular és

$\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C.$

Obtenció

Aquesta primitiva es pot calcular emprant la integració per parts, tal com segueix:

$\int \sec^3 x \, dx = \int u\,dv$

on

$\begin{align} u &{}= \sec x, \\ dv &{}= \sec^2 x\,dx, \\ du &{}= \sec x \tan x\,dx, \\ v &{}= \tan x. \end{align}$

Llavors

$\begin{align} \int \sec^3 x \, dx &{}= \int u\,dv \\ &{}= uv - \int v\,du \\ &{} = \sec x \tan x - \int \sec x \tan^2 x\,dx \\ &{}= \sec x \tan x - \int \sec x\, (\sec^2 x - 1)\,dx \\ &{}= \sec x \tan x - \int \sec^3 x \, dx + \int \sec x\,dx. \end{align}$

Sumant $\scriptstyle{}\int\sec^3 x\,dx$ als dos cantons de la igualtat:

$\begin{align} 2 \int \sec^3 x \, dx &{}= \sec x \tan x + \int \sec x\,dx \\ &{}= \sec x \tan x + \ln|\sec x + \tan x| + C. \end{align}$

Dividint els dos cantons entre 2 s'obté el resultat que s'ha presentat al començament.

Potències de la secant d'exponent senar més gran que 3

Igual que la integració per parts de més amunt ha reduït la integral de la secant al cub a la integral de la secant a la primera potència, de igual manera un procés similar redueix la integral de la secant elevada a potències senars més grans que 3 a potències més petites. Aquesta és la fórmula de Reducció de la Secant que segueix:

$\int \sec^n{cx} \, dx = \frac{\sec^{n-2}{cx} \tan {cx}}{c(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{cx} \, dx \qquad \mbox{ (for }n \ne 1\mbox{)}\,\!$

Alternativament:

$\int \sec^n{cx} \, dx = \frac{\sec^{n-1}{cx} \sin {cx}}{c(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{cx} \, dx \qquad \mbox{ (for }n \ne 1\mbox{)}\,\!$

Vegeu també

• Taula d'integrals