Integral de la secant al cub

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Una de les integrals indefinides més difícils de calcular és

\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C.

Obtenció[modifica | modifica el codi]

Aquesta primitiva es pot calcular emprant la integració per parts, tal com segueix:

 \int \sec^3 x \, dx = \int u\,dv

on


\begin{align}
u &{}= \sec x, \\
dv &{}= \sec^2 x\,dx, \\
du &{}= \sec x \tan x\,dx, \\
v &{}= \tan x.
\end{align}

Llavors


\begin{align}
\int \sec^3 x \, dx &{}= \int u\,dv \\
&{}= uv - \int v\,du \\
&{} = \sec x \tan x - \int \sec x \tan^2 x\,dx \\
&{}= \sec x \tan x - \int \sec x\, (\sec^2 x - 1)\,dx \\
&{}= \sec x \tan x - \int \sec^3 x \, dx + \int \sec x\,dx.
\end{align}

Sumant \scriptstyle{}\int\sec^3 x\,dx als dos cantons de la igualtat:


\begin{align}
2 \int \sec^3 x \, dx &{}= \sec x \tan x + \int \sec x\,dx \\
&{}= \sec x \tan x + \ln|\sec x + \tan x| + C.
\end{align}

Dividint els dos cantons entre 2 s'obté el resultat que s'ha presentat al començament.

Potències de la secant d'exponent senar més gran que 3[modifica | modifica el codi]

Igual que la integració per parts de més amunt ha reduït la integral de la secant al cub a la integral de la secant a la primera potència, de igual manera un procés similar redueix la integral de la secant elevada a potències senars més grans que 3 a potències més petites. Aquesta és la fórmula de Reducció de la Secant que segueix:

 \int \sec^n{cx} \, dx = \frac{\sec^{n-2}{cx} \tan {cx}}{c(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{cx} \, dx \qquad \mbox{ (per }n \ne 1\mbox{)}\,\!

Alternativament:

 \int \sec^n{cx} \, dx = \frac{\sec^{n-1}{cx} \sin {cx}}{c(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{cx} \, dx \qquad \mbox{ (per }n \ne 1\mbox{)}\,\!

Vegeu també[modifica | modifica el codi]