Integral multiplicativa

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En càlcul infinitesimal la Integral multiplicativa és una versió multiplicativa de la integral. Varen ser desenvolupades per primer cop pel biòleg i matemàtic Vito Volterra a la dècada del 1890 per resoldre sistemes d'equacions diferencials. Des de llavors les integrals multiplicatives han estat d'utilitat en àrees que van des de l'epidemiologia (L'estimador de Kaplan-Meier) fins a la dinàmica estocàstica de poblacions (multigrals), l'anàlisi i fins i tot en mecànica quàntica.

Les integrals multiplicatives no han tingut mai un tractament important en el desenvolupament de les matemàtiques, probablement degut a la notació poc intuïtiva que va fer servir en Volterra. Fins a la data, periòdicament s'han anat redescobrint les integrals multiplicatives i ha anat creixent una gamma aclaparadora de terminologia i notació.

En aquest article es fa servir la notació "producte" \prod per indicar la integral multiplicativa en comptes de la "integral" \int (normalment modificada amb un símbol superposat de "multiplicació" o la lletra P) que és el que preferien en Volterra i d'altres. També s'ha adoptat una classificació arbitrària dels tipus d'integrals multiplicatives per tal d'imposar una mica d'ordre en aquest camp.

Definicions bàsiques[modifica | modifica el codi]

En la seva forma més bàsica les integrals es poden entendre com el límit d'una sèrie que calcula l'àrea tancada davall del gràfic de la funció f(x)

\int f(x)dx=\lim_{\Delta x\to 0}\sum{f(x_i){\Delta x}}

Les integrals multiplicatives són semblants només que en comptes de calcular el límit d'una suma, calculen el límit d'un producte.

\; \sideset{}{_a^b}\prod_{x\in\Re}{f(x)^{dx}}=\lim_{\Delta x\to 0}\prod{f(x_i)^{\Delta x}}

Es pot entendre com un producte "continu" en comptes d'un producte "discret".

Ara bé, a diferència de les integrals normals, hi ha diferents tipus d'integrals multiplicatives , que degut a la manca de terminologia amplament acceptada, es designaran de forma arbitrària com els Tipus I fins a III de més avall.

Tipus I:
\; \sideset{}{_a^b}\prod_{x\in\Re}{f(x)^{dx}}=\lim_{\Delta x\to 0}\prod{f(x_i)^{\Delta x}}
=\exp(\int_a^b {\ln(f(x))dx})
Tipus II:
\; \sideset{}{_a^b}\prod_{x\in\Re}{1+f(x)\,{dx}}=\lim_{\Delta x\to 0}\prod{(1+f(x_i){\Delta x})}
Tipus III (sense dx):
\; \sideset{}{_a^b}\prod_{x\in\Re}{f(x)}=\lim_{\Delta x\to 0}\prod{f(x_i)}
=\exp(\int_a^b {\ln(f(x))})

(nota: cal determinar les condicions en les quals f(x), a, b convergeix i en el cas de l'últim tipus també s'ha de descriure la partició del domini per calcular el límit)

Els arguments (x) de les expressions de dalt, poden ser tant variables reals com matrius (vegeu les referències de Gill més avall).

Exemple[modifica | modifica el codi]

\; \sideset{}{_1^2}\prod_{x\in\Re}{x^{dx}}
=\exp(\int_a^b {\ln(x)dx})=\exp(x\ln(x)-x)_1^2=4/e

Resultats[modifica | modifica el codi]

Igual que en les integrals normals, les integrals multiplicatives tenen resultats equivalents (per f(x), a, b adequats) com ara:

  • El teorema fonamental
\; \sideset{}{_a^b}\prod_{x\in\Re}{f^*(x)^{dx}}=\sideset{}{_a^b}\prod_{x\in\Re}{\exp\left (\frac{f'(x)}{f(x)}dx\right )}=\frac{f(b)}{f(a)}

on f^*(x)=\exp(f'(x)/f(x)) és la derivada multilicativa (o m-derivada).

  • Regla del producte
\; (fg)^* = f^*g^*
  • Regla del quocient
\; (f/g)^* = f^*/g^*


  • Llei dels grans nombres
No s'ha pogut entendre (error de lèxic): \; \sqrt[n] {X_1*X_2*…*X_n} \to \sideset{}{}\prod_{x}{X^{pr(x)dx}} \; quan\; n \to \infty


on X és una variable aleatòria amb distribució de probabilitat pr(x)).


Comparant-la amb la Llei dels Grans Nombres estandard:
No s'ha pogut entendre (error de lèxic): \; \frac{X_1+X_2+…+X_n}{n} \; \to \; \int X*pr(x)dx\; quan \; n \to \infty


(fixeu-vos que el que s'exposa més amunt és pel tipus I d'integrals multiplicatives. Els altres tipus donen altres resultats).

Referències[modifica | modifica el codi]

  • W. P. Davis, J. A. Chatfield, "Concerning Product Integrals and Exponentials" Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 25, No. 4 (Aug., 1970), pp. 743-747, doi:10.2307/2036741
  • Volterra, V., Hostinsky, B, "Operations Infinitesimales Lineaires", Gauthier-Villars, Paris (1938).
  • Dollard, John D., Friedman, Charles, N., "Product integrals and the Schrödinger Equation", Journ. Math. Phys. 18 #8,1598-1607 (1977).

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]