Matriu acompanyant

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En àlgebra lineal, la matriu acompanyant de Frobenius del polinomi mònic


p(t)=c_0 + c_1 t + \cdots + c_{n-1}t^{n-1} + t^n ~,

és la matriu quadrada definida per

C(p)=\begin{bmatrix}
0 & 0 & \dots & 0 & -c_0 \\
1 & 0 & \dots & 0 & -c_1 \\
0 & 1 & \dots & 0 & -c_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & 1 & -c_{n-1}
\end{bmatrix}.

Amb aquesta convenció, i escrivint la base com v_1,\dots,v_n, tenim Cv_i = C^{i}v_1 = v_{i+1} (per i < n), i v_1 genera V com a K[C]-mòdul: C vectors base de cicles.

Alguns autors usen la transposada d'aquesta matriu, que és més convenient per algunes utilitats, com ara les recurrències.

Caracterització[modifica | modifica el codi]

Tant el polinomi característic com el polinomi minimal de C(p) són iguals a p;[1] en aquest sentit, la matriu C(p) és l'"acompanyant" del polinomi p.

Si A és una matriu n×n a entrades en algun cos K, llavors les següents afirmacions són equivalents:

  • A és semblant a la matriu acompanyant sobre K del seu polinomi característic.
  • El polinomi característic de A coincideix amb el polinomi minimal de A; equivalentment, el polinomi minimal té grau n.
  • Existeix un vector cíclic v a V=K^n per A, la qual cosa vol dir que {v, Av, A2v, ..., An−1v} és una base de V. Equivalentment, és tal que V és cíclic com a K[A]-mòdul (i V=K[A]/(p(A))); hom diu que A és regular.

No tota matriu quadrada és semblant a una matriu acompanyant. Però tota matriu és similar a una matriu construïda amb blocs de matrius acompanyants. És mes, aquestes matrius acompanyants es poden escollir de tal manera que els seus polinomis es divideixin l'un a l'altre; llavors es diu que estan unívocament determinades per A. Aquesta és la forma normal de Frobenius de A.

Diagonalitzabilitat[modifica | modifica el codi]

Si p(t) té arrels diferents λ1, ..., λn (els valors propis de C(p)), llavors C(p) és diagonalitzable de la següent manera:

V C(p) V^{-1} = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)

on V és la matriu de Vandermonde corresponents als valors propis λi.

En aquest cas,[2] les traces de les potències m-simes de C equivalen a les sumes de les mateixes potències m-simes de totes les arrels de p(t),

\operatorname{tr}C^m = \sum_{i=1}^{n}  \lambda_i^m ~.

En general, la matriu acompanyant pot no ser diagonalitzable.

Recurrències lineals[modifica | modifica el codi]

Donada una recurrència lineal amb polinomi característic

p(t)=c_0 + c_1 t + \cdots + c_{n-1}t^{n-1} + t^n \,

la matriu acompanyant (transposada)

C^T(p)=\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\
-c_0 & -c_1 & -c_2 & \cdots & -c_{n-1}
\end{bmatrix}

genera la recurrència, en el sentit que

C^T\begin{bmatrix}a_k\\
a_{k+1}\\
\vdots \\
a_{k+n-1}
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}a_{k+1}\\
a_{k+2}\\
\vdots \\
a_{k+n}
\end{bmatrix}.

Incrementa la seqüència en 1 posició.

Per c0 = −1, i tots els altres ci=0, per exemple, p(t)=tn−1, aquesta matriu es redueix a la matriu de decalatge cíclica de Sylvester, o matriu circulant.

El vector (1,t,t2, ..., tn-1) és un vector propi d'aquesta matriu pel valor propi t, on t és una arrel del polinomi característic anterior.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Johnson, Roger A. Horn, Charles R.. Matrix analysis. Repr. with corrections 1987.. Cambridge [Cambridgeshire]: Cambridge University Press, 1985, p. 146-147. ISBN 0-521-30586-1 [Consulta: 4 juliol 2013]. 
  2. Bellman, Richard. Introduction to matrix analysis. 2nd ed.. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1997. ISBN 0898713994. 

Vegeu també[modifica | modifica el codi]