Teorema del punt fix de Banach

Dins l'entorn d'anàlisi matemàtica el teorema del punt fix de Banach (també anomenat teorema de l'aplicació contractiva ) és una de les eines més importants per demostrar l'existència de solucions de nombrosos problemes matemàtics. El teorema garanteix l'existència i unicitat de punts fixos de certes funcions definides en espais mètrics i proporciona un mètode per trobar-los. Deu el seu nom a Stefan Banach (1892-1945), qui va ser el primer a enunciar el 1922.

Enunciat

Sigui ( X , d ) un espai mètric complet i f una aplicació. Es diu que és contractiva si existeix K <1 tal que $d (f (x), f (y))\leq Kd (x, y)$ per qualsevol $x, y\in X$. Un punt fix $x_0 \,$ de f és un punt de X tal que f ($x_0 \,$) = $x_0 \,$. Llavors el teorema del punt fix de Banach diu:

Sigui ( X , d ) un espai mètric complet i sigui f : X → X una aplicació contractiva En X . Llavors hi ha un únic punt fix d ' f . Stefan Banach

A més a més, el teorema estableix que per a tot x de X la successió x , f (x) , f (f (x)) , ... convergeix cap a aquest punt fix.

Demostració

La demostració ve donada en que la successió així definida és una successió de Cauchy per ser la funció contractiva. Com X és complet convergeix a un $x_0$ d'X Per ser la funció contractiva, és contínua i de la forma en què s'ha definit, es dedueix que $x_0$ és un punt fix de la funció i que és únic.

Aplicacions

Es tracta d'una eina bàsica en la demostració de l'existència de solucions de equacions diferencials (Vegeu el teorema de Picard-Lindelöf). Un altre dels usos d'aquest resultat radica en l'anàlisi de sistemes dinàmics, que té nombroses aplicacions, per exemple en l'estudi de models de població, models caòtics, etcètera. També és important en l'estudi de mètodes iteratius utilitzats en el càlcul numèric, per exemple en alguns problemes d'enginyeria. Fins i tot determinats fractals són punts fixos de certes contraccions.