Espiral

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Tall de la closca d'un nautilus que mostra que les cambres arranjades dins aproximadament seguint una espiral logarítmica.

En matemàtiques, una espiral és una corba que parteix d'un punt anomenat centre, i va progressivament allunnyant-se-hi a mesura que gira al voltant del punt.

Espiral o hèlix[modifica | modifica el codi]

Una espiral arquimediana, una hèlix, i una espiral cònica.

Una "espiral" i una "hèlix" són dos termes que fàcilment s confonien, però representen objectes diferents.

Una espiral és una corba plana (és a dir continguda en un pla), com el solc en un Disc fonogràfic o els braços d'una galàxia espiral. Per altra banda, una hèlix, és un errotllament tridimensional que recorre la superfície d'un cilindre, com el solc dun caragol (enginyeria). Hi ha exemples on col·loquialment espiral es fa servir com un sinònim d'hèlix, com les llibretes d'espiral per referir-se al filferro helicoidal que uneix les planes.

A la figura del costat, la corba negra en el fons és un espiral d'Arquimedes, mentre que la corba verda és una hèlix. Un encreuament entre una espiral i una hèlix, com la corba mostrada en vermell, es coneix com a hèlix cònica. Un exemple d'una hèlix cònica és la molla utilitzada per aguantar i fer contacte amb els terminals negatius de piles en comandaments a distància.

Espirals bidimensionals[modifica | modifica el codi]

A two-dimensional spiral may be described most easily using polar coordinates, where the radius r is a continuous monotonic function of angle θ. The circumferència would be regarded as a degenerate case (the function not being strictly monotonic, but rather constant).

Algunes de les classes més importants d'espirals bidimensionals inclouen:

Espirals Tridimensionals[modifica | modifica el codi]

Per espirals simples en 3-d, una tercera variable h (alçada), és també una funció monotònica contñínua de θ. Per exemple, una hèlix cònica es pot definr com a espiral en una superfície cònica, amb la distància a l'àpex una funció exponencial de θ.

Per a una helicoide amb gruix, vegeu molla (matemàtiques).

Espiral esfèrica[modifica | modifica el codi]

Espiral Esfèrica Arquimediana

Una espiral esfèrica (loxodròmia, imatge de l'esquerra) és la corba en una esfera traçada per un navegant des d'un pol fins a l'altre mentre manté un angle fiat (diferent de 0° i de 90°) respecte als meridians de longitud (geografia). La corba té un nombre infinit de revolucions, amb la distància entre voltes disminuint a mesuar que la corba s'apropa a qualsevol dels pols.

El buit entre les corbes d'una espiral d'Arquimedes (imatge de la dreta) es manté constant a mesura que el radi canvia i per això no és una loxodròmia.

Com a símbol[modifica | modifica el codi]

Pedra d'Entrada de Newgrange

L'espiral juga un paper específic dins el simbolisme, i apareix en l'art megalític, notablement en la tomba de Newgrange o en molts petroglifs com el de Mogor. Vegeu també espiral triple.

Mentre que els estudiosos encara estan discutint el tema, hi ha una acceptació creixent de que l'espiral simple, quan es troba en l'art xinès, és un símbol primitiu per al sol. Teules que es remunten a la dinastia Tang amb aquest símbol s'hant trobat cap a l'oest de la ciutat antiga de Chang'an (avui en dia Xian).

Les espirals són també un símbol de hipnosi, sorgit del clixé de gent i personatges de dibuixos animats que s'hipnotitzen mirant una espiral que gira (N'és un exemple Kaa a el Llibre de la selva (pel·lícula)). També s'utilitzen com a símbol de vertigen, on els ulls d'un personatge de dibuixos animats, especialment en anime i manga, es converteixen en espirals per mostrar que estan atordits o que tenen vertigen. L'espiral és també un símbol prominent en l'anime Tengen Toppa Gurren-Lagann, on simbolitza la doble hèlix estructura de l'àcid desoxiribonucleic, que representa l'evolució biològica, i l'estructura d'espiral d'una galàxia, representa l'evolució universal.

En la natura[modifica | modifica el codi]

El plat 53è de Ernst Haeckel Kunstformen der Natur (1904), els organismes que es representen es classificaven com Prosobranchia (ara se sap que és polyphyletic).

L'estudi d'espirals ala natura té una història llarga, Christopher Wren va observar que moltes closques formen una espiral logarítmica. Jan Swammerdam va observar les característiques matemàtiques comunes d'una gamma àmplia de closques de Hèlix a Spirula i Henri Nottidge Moseley va descriure les matemàtiques de les closques dels gasteròpodes. El llibre de D'Arcy Wentworth Thompson Sobre el Creixement i la Forma dóna un tractament extens d'aquestes espirals. Descriu com es formen les closques girant una corba tancada al voltant d'un eix fix, la figura geomètrica de la corba es manté fixa però la seva mida creix en una progressió geomètrica. En alguna closca com el nàutil i els ammonits la corba generatriu gira en un pla perpendicular a l'eix i la closca agafa una forma discoide planar. En altres segueix un patró d'helico-espiral.

Thompson també va estudiar espirals que produeixen en les banyes, les dents, les urpes i les plantes.[1]

H Vogel va proposar un model per al patró de les flors de gira-sol. Té la forma

\theta = n \times 137.5^{\circ},\ r = c \sqrt{n}

on n és el nombre d'índex de la flor i c és un factor d'escala constant, i és una forma de espiral de Fermat. L'angle 137.5° està relacionat am la secció àuria.[2]

En l'art[modifica | modifica el codi]

L'espiral ha inspirat artistes al llarg dels temps. Per exemple Spiral Jetty de Robert Smithson Spiral Jetty, al Gran Llac Salat a Utah.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Thompson, D'Arcy. On Growth and Form, 1917,1942. 
  2. Plantilla:Copy book

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Espiral