Usuari:Freutci/gamma

Funció de densitat i parametritzacions

Distribució Gamma

Funció de densitat de probabilitat
Funció de distribució de probabilitat
Paràmetres	$k\in (0,\infty )$ forma $\theta \in (0,\infty )$ escala
Suport	$x\in (0,\infty )$
fdp	$f(x)={\frac {1}{\theta ^{k}\,\Gamma (k)}}\,x^{k-1}e^{-x/\theta }$
FD	$F(x)={\frac {1}{\Gamma (k)}}\gamma \left(k,{\frac {x}{\theta }}\right)$
Esperança matemàtica	$k\,\theta$
Mediana	No té expressió tancada
Moda	$(k-1)\theta ,\ {\text{si}}\ k\geq 1$
Variància	$k\,\theta ^{2}$
Coeficient de simetria	${\frac {2}{\sqrt {k}}}$
Curtosi	${\frac {6}{k}}$
Entropia	${\begin{aligned}k&+\ln \theta +\ln \Gamma (k)\\&+(1-k)\psi (k)\end{aligned}}$
FGM	$(1-\theta t)^{-k},\ {\text{per a }}t<{\frac {1}{\theta }}$
FC	$(1-\theta it)^{-k}$
Informació de Fisher	$I(k,\theta )={\begin{pmatrix}\psi ^{(1)}(k)&\theta ^{-1}\\\theta ^{-1}&k\theta ^{-2}\end{pmatrix}}$

Hi ha dues parametritzacions diferents de la distribució gamma. La primera utilitza un paràmetre d'escala $\theta \in (0,\infty )$ i un paràmetre de forma $k\in (0,\infty )$ , i és àmpliament utilitzada tant en Estadística com en Probabilitats; a més, és la més habitual en el programari estadístic . La funció de densitat és

$$f(x;k,\theta )={\begin{cases}{\dfrac {1}{\theta ^{k}\,\Gamma (k)}}\,x^{k-1}\,e^{-x/\theta },&{\text{si}}\ x>0,\\0,&{\text{si}}\ x\leq 0,\end{cases}}$$

on $\Gamma (k)$ és la funció gamma . Si $X$ és una variable aleatòria amb aquesta distribució, s'escriu $X\sim \Gamma (k,\theta )$ o $X\sim {\text{Gamma}}(k,\theta )$ .

La segona parametrització utilitza un paràmetre d'escala inversa, que també s'anomena paràmetre de taxa (rate parameter), $\beta \in (0,\infty )$, $\beta =1/\theta$, i el paràmetre de forma $\alpha =k\in (0,\infty )$. Aquesta parametrització també s'utilitza molt, per exemple en teoria de la probabilitat o en Estadística bayesiana . La funció de densitat, amb aquesta parametrització és

$$f(x;\alpha ,\beta )={\begin{cases}{\dfrac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\,x^{\alpha -1}\,e^{-\beta x},&{\text{si}}\ x>0,\\0,&{\text{si}}\ x\leq 0.\end{cases}}$$

En aquest article utilitzarem la primera parametrització.

Funció de distribució

$$F(x;k,\theta )={\begin{cases}{\dfrac {1}{\Gamma (k)}}\gamma {\big (}k,{\dfrac {x}{\theta }}{\big )},&{\text{si}}\ x\geq 0\\0,&{\text{si}}\ x<0,\end{cases}}$$

on $\gamma (k,x)$ és la funció gamma incompleta inferior.

Moments

La distribució gamma té moments de tots els ordres. Si $X\sim \Gamma (k,\theta )$, aleshores per a $n\geq 1$,

$$E[X^{n}]=\theta ^{n}k(k+1)\cdots (k+n-1).$$

En particular,

$$E[X]=\theta k\quad {\text{i}}\quad E[X^{2}]=\theta ^{2}k(k+1),$$

d'on

$${\text{Var}}(X)=E[X^{2}]-{\big (}E[X]{\big )}^{2}=\theta ^{2}k.$$

$$E[X]=\theta k\quad {\text{i}}\quad {\text{Var}}(X)=\theta ^{2}k.$$

Prova

Reduirem la integral que intervé el càlcul dels moments a la funció gamma:

$$E[X^{n}]={\frac {1}{\theta ^{k}\,\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }x^{n+k-1}e^{-x/\theta }\,dx\,{\underset {(*)}{=}}\,{\frac {\theta ^{n}\,\Gamma (n+k)}{\Gamma (k)}}\,{\underset {(**)}{=}}\,\theta ^{n}(k+n-1)(k-n-2)\cdots k,$$

on a la igualtat (*) hem fet el canvi de variables $x/\theta =y$ per retrobar una funció gamma, i a la igualtat (**) hem utilitzat l'equació funcional de la funció gamma $\Gamma (t+1)=t\,\Gamma (t),\ t>0$.

Funció generatriu de moments i funció característica

La distribució gamma $\Gamma (k,\theta )$ té funció generatriu de moments en una semirecta que conté el zero:

$$M(t)={\frac {1}{(1-\theta t)^{k}}},\quad t\in (-\infty ,{\frac {1}{\theta }}).$$

Prova

De nou, utiitzarem aquí la funció gamma:

$$M(t)={\frac {\theta ^{k}}{\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }e^{tx}x^{k-1}e^{-x/\theta }\,dx={\frac {\theta ^{k}}{\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }e^{-x({\frac {1}{\theta }}-t)}x^{k-1}\,dx.$$

Si $t<1/\theta$, fem el canvi $x=y\ ({\frac {1}{\theta }}-t)^{-1}$ i tenim

$$M(t)={\frac {\theta ^{k}}{\Gamma (k)}}{\Big (}{\frac {1}{\theta }}-t{\Big )}^{-k}\int _{0}^{\infty }e^{-y}y^{k-1}\,dy={\frac {1}{(1-\theta t)^{k}}}.$$

La funció característica és

$$\varphi (t)={\frac {1}{(1-i\theta t)^{k}}}=\exp {\Big \{}-k\log(1-i\theta t){\Big \}},\quad t\in \mathbb {R} ,$$

on $\log$ és la branca principal del logaritme, és a dir, amb la part imaginària a $(-\pi ,\pi )$ .

Caràcter reproductiu

Si $X_{1}\sim \Gamma (k_{1},\theta )$ i $X_{2}\sim \Gamma (k_{2},\theta )$ independents, aleshores $X_{1}+X_{2}\sim \Gamma (k_{1}+k_{2},\theta )$; és diu que la distribució $\Gamma (k,\theta )$ és reproductiva respecte el paràmetre $k$ . Aquesta propietat es demostra utilitzant les funcions característiques (o les funcions generatrius de moments) de $X_{1}$ i $X_{2}$.

Més generalment, si $X_{1},\dots ,X_{n}$ són independents, $X_{i}\sim \Gamma (k_{i},\theta )$ , aleshores

$$\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma {\big (}\sum _{i=1}^{n}k_{i},\theta {\big )}.$$

.

La distribució gamma és infinitament divisible

La distribució gamma $\Gamma (k,\theta )$ és infinitament divisible (o infinitament descomposable) , això és, sigui $X\sim \Gamma (k,\theta )$, aleshores per a qualsevol enter $n\geq 1$, existeixen (en algun espai de probabilitat) variables aleatòries $X_{1},\dots ,X_{n}$ independents i idènticament distribuïdes tals que

$$X\ {\overset {\mathcal {D}}{=}}\ X_{1}+\cdots +X_{n},$$

on ${\overset {\mathcal {D}}{=}}$ indica la igualtat en distribució o llei. Aquí cal prendre $X_{i}\sim \Gamma (k/n,\theta ),\ i=1,\dots ,n$ .

La representació de Lévy-Khintchine de la funció característica és

$$\varphi (t)=\exp {\Big \{}k\int _{0}^{\infty }{\big (}e^{itx}-1{\big )}\,{\frac {e^{-x/\theta }}{x}}\,dx{\Big \}}.$$

Per tant, la mesura de Lévy té densitat

$$g(x)=k\,{\frac {e^{-x/\theta }}{x}},\quad x>0,$$

i la part gaussiana i la deriva (drift) són zero (vegeu Sato per a les definicions d'aquests termes).

Moda

Quan $k\geq 1$ , la funció de densitat de la distribució $\Gamma (k,\theta )$ té un únic màxim al punt $\theta (k-1)$; és diu que aquest valor és la moda de la distribució i que la distribució és unimodal. El valor del màxim és $(k-1)^{k-1}e^{-(k-1)}/(\theta \,\Gamma (k))$, que per la fórmula de Stirling, per a valors grans de $k$ es pot aproximar per $1/{\Big (}\theta {\sqrt {2\pi (k-1)}}{\Big )}$ .

Quan $k\in (0,1)$, aleshores la densitat no està afitada, ja que, en aquest cas, $\lim _{x\to 0^{+}}f(x;k,\theta )=\infty .$

Distribució gamma amb tres paràmetres

Johnson et al. introdueixen la distribució gamma amb tres paràmetres: a més dels paràmetres de forma i escala $k,\theta \in (0,\infty )$, consideren un paràmetre de posició $\gamma \in \mathbb {R}$; la distribució ve definida per la funció de densitat

$$f(x;k,\theta ,\gamma )={\begin{cases}{\dfrac {1}{\theta ^{k}\,\Gamma (k)}}\,(x-\gamma )^{k-1}\,e^{-(x-\gamma )/\theta },&{\text{si}}\ x>\gamma ,\\0,&{\text{si}}\ x\leq \gamma .\end{cases}}$$

Nosaltres hem considerat el cas $\gamma =0$.

Referències

• Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. Continuous Univariate Distributions, Volume 1. 2nd ed. New York: Wiley, 1994. ISBN 0-471-58495-9.