Funció zeta de Dedekind

En matemàtica, la funció zeta de Dedekind és una sèrie de Dirichlet definida per a tot cos K de nombres algebraics, expressada com $\zeta _{K}(s)$ on $s$ és una variable complexa. És la suma infinita:

$\sum (NI)^{-s}$

realitzada en tots els I ideals de l'anell dels enters $O_{K}$ de K , amb $I\neq \{0\}$. On $NI$ és la norma de I (al camp racional Q ): és igual a la cardinalitat de O _K / I , en altres paraules, el nombre de classes de residu mòdul $I$. En el cas en què K = Q aquesta definició es redueix a la funció zeta de Riemann.

Propietats

Les propietats de $\zeta _{K}(s)$ com una funció meromórfica resulten d'un considerable significat en la teoria de nombres algebraics. Té un producte d'Euler, amb un factor per a un donat nombre primer $p$ al producte sobre tots els ideals primers $P$ de $O_{K}$ dividint $p$ de

$\left(1-(NP)^{-s}\right)^{-1}$

Aquesta és l'expressió en termes analítics de la unicitat de la factorització prima dels ideals $I$.

Se sap (demostrat en forma general primer per Erich Hecke) que $\zeta _{K}(s)$ té una continuació analítica cap a tot el pla complex com una funció meromorfa, tenint un pol simple només en s = 1. El residu en aquest pol és una quantitat important, que involucra invariants del grup unitari i del grup de classe de K , els detalls es troben a la fórmula de nombre de classe. Hi ha una equació funcional per a la funció zeta de Dedekind, que relaciona els seus valors en s i 1 - s .

Per al cas en què K és una extensió abeliana de Q , la seva funció zeta de Dedekind pot ser escrita com un producte de funcions L de Dirichlet. Per exemple, quan K és un cos quadràtic això mostra que la relació

${\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbb {Q} }(s)}}$

és una funció L , L ( s , χ); on $\chi$ és un símbol de Jacobi com caràcter de Dirichlet. Que la funció zeta d'un cos quadràtic sigui un producte de la funció zeta de Riemann i una certa funció L de Dirichlet és una formulació analítica de la llei de Gauss de reciprocitat quadràtica.

En general si K és una extensió de Galois de Q amb grup de Galois G , la seva funció zeta de Dedekind té una factorització comparable en termes de funcions L de Artin. Aquestes estan associades a representacions lineals de G .

Referències

• Bosma, Wieb & de Smit, Bart (2002), "On arithmetically equivalent number fields of small degree", in Kohel, David R. & Fieker, Claus, Algorithmic number theory (Sydney, 2002), vol. 2369, Lecture Notes in Comput. Sci., Berlin, New York: Springer-Verlag, pàg. 67–79, ISBN 978-3-540-43863-2, DOI 10.1007/3-540-45455-1_6
• Section 10.5.1 of Cohen, Henri (2007), Number theory, Volume II: Analytic and modern tools, vol. 240, Graduate Texts in Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-0-387-49893-5, DOI 10.1007/978-0-387-49894-2
• Deninger, Christopher (1994), "L-functions of mixed motives", in Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven & Serre, Jean-Pierre, Motives, Part 1, vol. 55.1, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, American Mathematical Society, pàg. 517–525, ISBN 978-0-8218-1635-6, <http://wwwmath.uni-muenster.de/u/deninger/about/publikat/cd22.ps>
• Flach, Mathias, "The equivariant Tamagawa number conjecture: a survey", in Burns, David; Popescu, Christian & Sands, Jonathan et al., Stark's conjectures: recent work and new directions, vol. 358, Contemporary Mathematics, American Mathematical Society, pàg. 79–125, ISBN 978-0-8218-3480-0, <http://www.math.caltech.edu/papers/baltimore-final.pdf>
• Martinet, J. (1977), "Character theory and Artin L-functions", in Fröhlich, A., Algebraic Number Fields, Proc. Symp. London Math. Soc., Univ. Durham 1975, Academic Press, pàg. 1-87, ISBN 0-12-268960-7
• Narkiewicz, Władysław (2004), Elementary and analytic theory of algebraic numbers (3 ed.), Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, Chapter 7, ISBN 978-3-540-21902-6

Vegeu també

• Funció L
• Hipòtesi de Riemann
• Funció eta de Dedekind

Enllaços externs

• Dedekind zeta function a PlanetMath
• Factorization of the Dedekind zeta function of an Abelian number field a PlanetMath