1 − 2 + 3 − 4 + ...

Els primers milers de termes i sumes parcials d'1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

En matemàtiques, l'expresió 1 − 2 + 3 − 4 + · · · és una sèrie matemàtica infinita els seus termes del qual són nombres enters positius, que alternen els seus signes. Utilitzant una notació matemàtica per a sumatòries, la suma del primers termes m de la sèrie s'expressa com:

$\sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}$

És una sèrie divergent, en el sentit que la successió de les sumes parcials (1, −1, 2, −2, …) no té cap límit finit. En forma equivalent es diu que 1 − 2 + 3 − 4 + · · · no poseeix cap suma.

Malgrat tot, a mitjans del segle XVIII, Leonhard Euler descobreix la següent relació qualificant-la de paradoxal:

$1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}$

No serà fins molt temps després que s'aconsegueix donar una explicació rigorosa d'aquesta equació. Fins als començaments de la dècada del 1890, Ernesto Cesàro i Émile Borel, entre altres, investigaren mètodes ben definits per trobar sumes generalitzades de les sèries divergents – incloent noves interprentacions dels intents realitzants per Leonhard Euler. Molts d'aquests mètodes anomenats de sumació asignen a (1 − 2 + 3 − 4 + · · ·) una "suma" de ¹⁄₄. El mètode de suma de Cesàro és un dels pocs mètodes que no suma la sèrie 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, pel que esta sèrie és un exemple d'un cas d'on s'ha d'utlitzar un mètode més robust com per exemple el mètode de sumació d'Abel.

La sèrie 1 − 2 + 3 − 4 + · · · es troba relacionada amb la sèrie de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·. Euler analitzà aquestes dues sèries com a casos especials de (1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + · · ·) per valors de n arbitràris, una línia d'investigació que estén la seva contribució al problema de Basilea i condueix a les equacions funcionals del que es coneix actualment com a funció eta de Dirichlet i la funció zeta de Riemann.

Divergència

Els termes de la sèrie, (1, −2, 3, −4, …), no s'aproximen al 0; per tant la sèrie 1 − 2 + 3 − 4 + · · · divergeix segons el test del terme. Com a base de les anàlisis en seccions subsegüents, és útil analitzar la divergència en un nivell més fonamental. Per definició la convergència o divergència d'una sèrie infinita es determina analitzant la convergència o divergència de la successió de les sumes parcials, i en aquest cas les sumes parcials d'1 − 2 + 3 − 4 + · · · són:

1 = 1,

1 − 2 = −1,

1 − 2 + 3 = 2,

1 − 2 + 3 − 4 = −2,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

…

Esta successió destaca per contenir a la vegada a cada un dels nombres enters – àdhuc el zero si es conta la suma parcial buida –i per tant estableix la numerabilitat del conjunt $\mathbb {Z}$ dels enters. Clarament no s'àroxima ni convergeix a cap nombre en particular, per tant 1 − 2 + 3 − 4 + · · · divergeix.

Bibliografia

• Beals, Richard. Analysis: an introduction. Cambridge UP, 2004. ISBN 0-521-60047-2. 
• Davis, Harry F. Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover, May 1989. ISBN 0-486-65973-9. 
• Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler «Translation with notes of Euler's paper: Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques». Memoires de l'academie des sciences de Berlin, vol. 17, 1768, 2006, pàg. 83-106.
• Ferraro, Giovanni «The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics». Archive for History of Exact Sciences, vol. 54, 2, June 1999, pàg. 101-135. doi:10.1007/s004070050036.
• Grattan-Guinness, Ivor. The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press, 1970. ISBN 0-262-07034-0. 
• Hardy, G.H.. Divergent Series. Clarendon Press, 1949. 
• Kline, Morris «Euler and Infinite Series». Mathematics Magazine, vol. 56, 5, November 1983, pàg. 307-314.
• Lavine, Shaughan. Understanding the Infinite. Harvard UP, 1994. ISBN 0674920961. 
• Markushevich, A.I.. Series: fundamental concepts with historical exposition. English translation of 3rd revised edition (1961) in Russian. Hindustan Pub. Corp., 1967. 
• Saichev, A.I., and W.A. Woyczyński. Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1. Birkhaüser, 1996. ISBN 0-8176-3924-1. 
• Tucciarone, John «The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925». Archive for History of Exact Sciences, vol. 10, 1-2, January 1973, pàg. 1-40. doi:10.1007/BF00343405.
• Vretblad, Anders. Fourier Analysis and Its Applications. Springer, 2003. ISBN 0387008365. 
• Weidlich, John E. Summability methods for divergent series. Stanford M.S. theses, June 1950. ISBN 38624384. 

Referències

Plantilla:Enllaç AD Plantilla:Enllaç AD Plantilla:Enllaç AD