Corba de Lissajous

De Viquipèdia

Dreceres ràpides: navegació, cerca

Corba de Lissajous en un oscil·loscopi

Corba de Lissajous en tres dimensions

En matemàtiques, un corba de Lissajous és la que té per equacions paramètriques

$x=A\sin(at+\delta),\quad y=B\sin(bt),$

que descriu un moviment harmònic compost. Aquesta família de corbes va ser investigada per Nathaniel Bowditch el 1815, ai més tard i en més detall per Jules Antoine Lissajous en 1857.

L'aspecte de la figura és altament sensible al quocient a/b. Per un quocient de 1, la figura és una el·lipse, amb cassos especials que inclouen circumferències (A = B, δ = π/2 radians) i rectes (δ = 0). Un altre corba de Lissajous senzilla és la paràbola (a/b = 2, δ = π/2). Altres quocients donen corbes més complicades, les quals només són tancades si a/b és un nombre racional. L'aspecte visual d'aquestes corbes sovint suggereix un nus tridimensional, a demés moltes classes de nusos, incloent-hi el nusos que es coneixen com nusos de Lissajous, es projecten al pla com a corbes de Lissajous.

Les corbes de Lissajous qunan a=1, b=N (nombre natural) i $\delta=\frac{N-1}{N}\frac{\pi}{2}$ són polinomis de Chebyshev de primera classe de grau N.

Les corbes de Lissajous apareixen sovint en els oscil·loscopi (com el de la figura). Quant s'apliquen dues entrades sinusoïdals desfasades a l'oscil·loscopi en mode X-Y amb la relaciño de fase adequada, apareix una corba de Lissajous. Les corbes de Lissajous també es poden traçar mecànicament amb un harmonograf.

Si en un oscil·loscopi x és CH1 i y és CH2, A és l'amplitud de CH1 i B és l'amplitud de CH2, a és la frequència de CH1 i b és la grequència de CH2, llavors $a / b$ és el quocient de frequències entre els dos canals, i finalment, δ és el desfase de CH1.

Més avall hi ha alguns exemples de corbes de Lissajous amb δ = π/2, a senar, b parell, |a − b| = 1.

a = 1, b = 2 (1:2)	a = 3, b = 2 (3:2)	a = 3, b = 4 (3:4)	a = 5, b = 4 (5:4)
a = 5, b = 6 (5:6)	a = 9, b = 8 (9:8)

Tot i que tenen una aparença semblant, les corbes Espirogràfiques són diferents donat que generalment estan limitades un àrea circular mentre que les corbes de Lissajous estan limitades per un rectangle (±A, ±B).