Efecte Compton

Efecte Compton d'un fotó sobre un electró lligat a un nucli

En mecànica quàntica, l'efecte Compton és l'augment de la longitud d'ona, que comporta una disminució de la serva energia, d'un fotó en col·lidir amb un electró. És a dir, l'augment de la longitud d'ona de la radiació electromagnètica de les bandes dels raigs X i raigs gamma de l'espectre en ser dispersats en xocar amb els electrons menys lligats als àtoms. Va ser observat per primer cop l'any 1923 pel físic estatunidenc Arthur Holly Compton (1892 - 1962) i independentment pel també estatunidenc d'origen neerlandès Peter Debye (1884 - 1966). Comptom seria guardonat amb el premi Nobel de física del 1927 per aquest descobriment.

El fenomen es pot observar si es fa incidir un feix de radiació de freqüència $f$ sobre una làmina de material, la radiació difosa tindrà una freqüència menor ($f'<f$). La teoria clàssica de la difusió de la radiació electromagnètica, la dispersió de Thomson en particular, no pot explicar aquesta observació, els àtoms de la làmina haurien d'oscil·lar a la freqüència incident $f$ i, per tant, reemetre radiació a la mateixa freqüència. És a dir, l'efecte Compton demostra que la llum no es pot explicar exclusivament com una ona, d'aquí la seva gran importància. És la manera principal en què la matèria absorbeix energia radiant.

La interacció entre els electrons i els fotons d'alta energia produeix que el fotó cedeixi part de la seva energia a l'electró (fent-lo retrocedir), i el fotó que conté l'energia romanent sigui emès en una direcció diferent de l'original, per tal que el moment del sistema es conservi. Si el fotó encara té prou energia, el procés es pot repetir. En aquest cas, l'electró es tracta com a lliure. Si el fotó és de baixa energia, però encara té prou energia (en general uns pocs eV, al voltant de l'energia de la llum visible), pot ejectar l'electró del seu àtom hoste completament (un procés conegut com a efecte fotoelèctric), en comptes de seguir l'efecte Compton.

També existeix l'efecte Compton invers, en aquest cas el fotó guanya energia (decreix en longitud d'ona) en interaccionar amb la matèria. Encara que la dispersió nuclear Compton existeix, normalment ens referim a dispersió Compton a la interacció en la qual es relacionen només els electrons d'un àtom.

Formulació de l'efecte Compton

Un fotó de longitud d'ona $\lambda \,$ arriba de l'esquerra, col·lideix amb l'objectiu en repòs, i un nou fotó de longitud d'ona $\lambda '\,$emergeix a un angle $\theta \,$

Compton va utilitzar una combinació de tres fórmules fonamentals que representen els diferents aspectes de la física moderna i la clàssica, combinant-los per a descriure el comportament quàntic de la llum.

• La llum com a partícula, com es descriu en l'efecte fotoelèctric.
• Dinàmica relativista: teoria de la relativitat especial.
• Trigonometria: teorema del cosinus.

El resultat final ens dona l'equació de l'efecte Compton:

$\lambda '-\lambda ={\frac {h}{m_{e}c}}(1-\cos {\theta })$

en què:

$\lambda \,$ és la longitud d'ona del fotó abans de la dispersió,

$\lambda '\,$ és la longitud d'ona del fotó després de la dispersió,

$m_{e}$ és la massa de l'electró,

$\theta \,$ és l'angle en què el fotó canvia,

$h$ és la constant de Planck, i

$c$ és la velocitat de la llum.

${\frac {h}{m_{e}c}}=2.43\times 10^{-12}\,m$ és coneguda com la longitud d'ona de Compton.

Derivació

Començant amb la conservació de l'energia i la conservació del moment:

$E_{\gamma }+E_{e}=E_{\gamma ^{\prime }}+E_{e^{\prime }}\quad \quad (1)\,$

${\vec {p}}_{\gamma }={\vec {p}}_{\gamma ^{\prime }}+{\vec {p}}_{e^{\prime }}\quad \quad \quad \quad \quad (2)\,$

en què:

$E_{\gamma }\,$ and $p_{\gamma }\,$ és l'energia i el moment del fotó i

$E_{e}\,$ and $p_{e}\,$ és l'energia i el moment de l'electró.

Solució (part 1)

Ara omplim per la part de l'energia:

$E_{\gamma }+E_{e}=E_{\gamma '}+E_{e'}\,$

$hf+mc^{2}=hf'+{\sqrt {(p_{e'}c)^{2}+(mc^{2})^{2}}}\,$

Solucionem per p_e':

$(hf+mc^{2}-hf')^{2}=(p_{e'}c)^{2}+(mc^{2})^{2}\,$

${\frac {(hf+mc^{2}-hf')^{2}-m^{2}c^{4}}{c^{2}}}=p_{e'}^{2}\quad \quad \quad \quad \quad (3)\,$

Solució (part 2)

Reajustem l'equació (2)

${\vec {p}}_{e'}={\vec {p}}_{\gamma }-{\vec {p}}_{\gamma '}\,$

I elevem al quadrat

$p_{e'}^{2}=({\vec {p}}_{\gamma }-{\vec {p}}_{\gamma '})\cdot ({\vec {p}}_{\gamma }-{\vec {p}}_{\gamma '})$

$p_{e'}^{2}=p_{\gamma }^{2}+p_{\gamma '}^{2}-2{\vec {p_{\gamma }}}\cdot {\vec {p_{\gamma '}}}$

$p_{e'}^{2}=p_{\gamma }^{2}+p_{\gamma '}^{2}-2|p_{\gamma }||p_{\gamma '}|\cos(\theta )\,$

$p_{e'}^{2}=\left({\frac {hf}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {hf'}{c}}\right)^{2}-2\left({\frac {hf}{c}}\right)\left({\frac {hf'}{c}}\right)\cos {\theta }\quad \quad \quad (4)$

Ajuntem

Ara tenim dues equacions $p_{e'}^{2}$ (eq 3 & 4):

$\left({\frac {hf}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {hf'}{c}}\right)^{2}-{\frac {2h^{2}ff'\cos {\theta }}{c^{2}}}={\frac {(hf+mc^{2}-hf')^{2}-m^{2}c^{4}}{c^{2}}}\,$

Ara, simplifiquem. Primer multiplicant els dos costats per c²:

$h^{2}f^{2}+h^{2}f'^{2}-2h^{2}ff'\cos \theta =(hf+mc^{2}-hf')^{2}-m^{2}c^{4}.\,$

Després:

$h^{2}f^{2}+h^{2}f'^{2}-2h^{2}ff'\cos {\theta }=h^{2}f^{2}+m^{2}c^{4}+h^{2}f'^{2}-2h^{2}ff'+2h(f-f')mc^{2}-m^{2}c^{4}.\,$

Simplificant, tindrem

$-2h^{2}ff'\cos {\theta }=-2h^{2}ff'+2h(f-f')mc^{2}.\,$

Dividim els dos costats per '$-2h$'

$hff'\cos {\theta }=hff'-(f-f')mc^{2}\,$

$(f-f')mc^{2}=hff'(1-\cos {\theta }).\,$

Ara dividim els dos costats per $mc^{2}$ i llavors per $ff^{\prime }$:

${\frac {f-f^{\prime }}{ff^{\prime }}}={\frac {h}{mc^{2}}}\left(1-\cos \theta \right).\,$

Ara la part esquerra es pot reescriure simplement com:

${\frac {1}{f^{\prime }}}-{\frac {1}{f}}={\frac {h}{mc^{2}}}\left(1-\cos \theta \right)\,$

Això és equivalent a l'equació de l'efecte Compton, però normalment s'escriu usant $\lambda$ en lloc de $f$. Per a fer el canvi s'usa:

$f={\frac {c}{\lambda }}\,$

i finalment:

$\lambda '-\lambda ={\frac {h}{mc}}(1-\cos {\theta })\,$

Efecte Compton invers

L'efecte Compton invers succeeix quan els fotons disminueixen la seva longitud d'ona en xocar amb electrons. Però, perquè això succeeixi, és necessari que els electrons viatgin a velocitats properes a la velocitat de la llum i que els fotons tinguin altes energies. La principal diferència entre els dos fenòmens és que durant l'efecte Compton "convencional", els fotons lliuren energia als electrons, i durant l'invers succeeix el contrari.

Aquest efecte pot ser una de les explicacions de l'emissió de raigs X en supernoves, quàsars i altres objectes astrofísics d'alta energia.

Vegeu també

• Dispersió de Thomson
• Fórmula de Klein-Nishina
• Observatori de raigs gamma Compton

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Efecte Compton

• A Quantum Theory of the Scattering of X-Rays by Light Elements Arxivat 2017-01-27 a Wayback Machine. - the original 1923 Physical Review paper by Arthur H. Compton (on the AIP website). (anglès)