Circumferència circumscrita

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Circumferència circumscrita a un polígon[modifica | modifica el codi]

Circumferència circumscrita, , i circumcentre, , d'un polígon cíclic,

La circumferència circumscrita (o de vegades, el cercle circumscrit) d'un polígon que en tingui és la circumferència que passa per tots els vèrtexs d'aquest polígon. El centre d'aquesta circumferència s'anomena circumcentre, i el seu radi s'anomena circumradi. Un polígon que té una circumferència circumscrita s'anomena polígon cíclic o inscriptible; tots els polígons regulars simples, tots els triangles i tots els rectangles són cíclics, i un cas important són els quadrilàters cíclics.

El circumcentre d'un polígon cíclic equidista de tots els seus vèrtexs i, per tant, és la intersecció de les mediatrius dels costats del polígon.

Una qüestió relacionada amb la circumferència circumscrita és el problema del cercle més petit, que tracta de buscar el cercle d'àrea mínima que conté completament el polígon.

Circumferència circumscrita a un triangle[modifica | modifica el codi]

Circumferència circumscrita a un triangle i ortocentre

Existència[modifica | modifica el codi]

Qualsevol triangle és un polígon cíclic, això és, té una circumferència circumscrita que passa pels seus tres vèrtexs. En efecte, si el punt és la intersecció de les respectives mediatrius i dels costats i del triangle , aquest punt equidista dels vèrtexs i i dels vèrtexs i , o sigui que

Resulta

i el punt també és de la mediatriu del costat i equidistant als tres vèrtexs , i del triangle . En conseqüència, la circumferència de centre i radi

passa pels tres vèrtexs , i del triangle i n'és, per tant, la circumferència circumscrita a aquest triangle, el radi n'és el circumradi i el punt el circumcentre.

El circumcentre d'un triangle[modifica | modifica el codi]

L'anterior prova que:

  • Les tres mediatrius d'un triangle es tallen en un punt.
  • Aquest punt és el circumcentre del triangle, centre de la circumferència circumscrita.

Construccions[modifica | modifica el codi]

Segona construcció del circumcentre
  1. Per determinar el circumcentre d'un triangle, només cal construir les bisectrius de dos costats: el punt on es tallen és el circumcentre del triangle.
  2. Una altra determinació del circumcentre és possible a partir de la mediatriu d'un costat del triangle . Es tracta de construir el segment de manera que l'angle sigui igual a l'angle del triangle. Per fer això només cal construir a l'exterior del triangle un segment amb . Aleshores, la perpendicular a que passa pel vèrtex talla a la mediatriu en el punt , que és el circumcentre del triangle[1].
El punt és el circumcentre del triangle

Aquesta darrera construcció es justifica així: si el punt no és l'ortocentre del triangle , aleshores, la circumferència , amb centre a i que passa pel vèrtex , passa també pel vèrtex perque el centre és a la mediatriu i talla el costat en un punt . Tenim

i

perquè el triangle és isòsceles, en el qual

i, com que , resulta

i, en el triangle , que també és isòsceles,

i, aleshores,

cosa impossible si no és que els punts i coïncideixen i el punt és, efectivament, l'ortocentre del triangle .

Posicions del circumcentre[modifica | modifica el codi]

Posicions del circumcentre segons si el triangle és acutangle, rectangle o escalè

Si el triangle és acutangle, el circumcentre és a l'interior del triangle. En els triangles rectangles el segment ha de fer un angle recte amb la mediatriu i, per tant, el circumcentre és el punt mitjà de la hipotenusa. Finalment, en un triangle escalè, el segment ha de fer un angle obtús amb la mediatriu i el circumcentre és a l'exterior del triangle.

Càlcul[modifica | modifica el codi]

El circumradi i el teorema dels sinus

En els dos triangles rectangles en què la mediatriu divideix el triangle , la hipotenusa és el circumradi i el catet oposat a l'angle és , la meitat del costat . Aleshores,

o sigui,

i, de la mateixa manera,

tot obtenint la relació

que aporta significat a les proporcions del teorema dels sinus i una de les seves demostracions.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Puig Adam, 1972, p. 85.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  1. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, Samuel L. Geometry Revisited (en anglès). Washington D. C. (USA): Mathematical Association of America, 1972. ISBN ISBN-0-88385-619-0. 
  2. Puig Adam, Pedro. Curso de Geometría Métrica (en espanyol). Madrid: Biblioteca Matemática, 1972. 

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Circumferència circumscrita Modifica l'enllaç a Wikidata