Espai euclidià

Un espai euclidià és un espai vectorial normat de dimensió finita, en què la norma és heretada d'un producte escalar.

Primera aproximació

L'espai euclidià treu el seu nom del matemàtic grec Euclides. Històricament, l'espai euclidià consta només de l'espai físic de 2 o 3 dimensions: el pla o l'espai, en el qual estan definits el punts. Aquests espais euclidians naturals són els universos en què van ser demostrats tots els grans teoremes de la geometria plana o de l'espai. Són els objectes d'estudi de tots els geòmetres des d'abans d'Euclides fins al segle xix.

En el segle xix, aquesta visió de l'espai comença a mostrar els seus límits. És en aquest moment quan es va veure la necessitat de donar-li unes definicions més formals i més generals.

Definicions matemàtiques

Espai vectorial euclidià

Un espai vectorial euclidià és un espai vectorial sobre $\mathbb {R}$, de dimensió finita n i dotat d'un producte escalar.

En qualsevol espai vectorial, sempre s'hi pot trobar una base ortonormal. En una tal base, es defineix el producte escalar canònic per:

$\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\langle (u_{1},u_{2},...,u_{n}),(v_{1},v_{2},...,u_{n})\rangle =u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+...+u_{n}v_{n}$.

Quan es té definit un producte escalar, és possible definir una norma, que s'anomena norma euclidiana:

$\lVert \mathbf {u} \rVert ={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }}$,

i que també permet introduir la noció d'angle: l'angle geomètric entre dos vectors u, v no nuls, és un valor real $\theta$ comprès entre 0 i π, tal que:

$\cos \theta ={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\lVert \mathbf {u} \rVert \cdot \lVert \mathbf {v} \rVert }}$

Espai afí euclidià

Un espai afí euclidià és l'espai afí associat a un espai vectorial euclidià.

S'hi pot definir una distància, nocions de l'angle geomètric, s'hi retroba el teorema de Pitàgores i la propietat de la suma dels angles de qualsevol triangle.

Exemples d'espai vectorial euclidià

• L'espai $\mathbb {R} ^{n}$, amb el producte escalar euclidià:

$\langle (x_{1},x_{2},...,x_{n}),(y_{1},y_{2},...,y_{n})\rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+...+x_{n}y_{n},$

és un espai vectorial euclidià de dimensió n.

• L'espai vectorial dels polinomis de grau igual o inferior a n:
  • amb el producte escalar euclidià:

$\left\langle \sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i},\sum _{i=o}^{n}b_{i}Y^{i}\right\rangle =\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{i}$

és un espai euclidià de dimensió $n+1$.

• • amb el producte escalar:

$\langle P,Q\rangle =\int _{0}^{1}P(t)Q(t)dt$

és també un espai euclidià amb una norma diferent.

Propietats dels espais euclidians

• En tot espai euclidià, es pot definir una base ortonormal. Més concretament, si $(u_{1},u_{2},...,u_{n})\,$ és una base de $\mathbf {E}$, existeix una base $(v_{1},v_{2},...,v_{n})\,$ ortonormal, tal que per a tot $k$ entre 1 i n, es compleix que:

$\langle u_{1},u_{2},...,u_{k}\rangle =\langle v_{1},v_{2},...,v_{k}\rangle \,$,

en què s'entén per $\langle u_{1},u_{2},...,u_{k}\rangle \,$ la varietat lineal engendrada per aquells $k$ elements de la base.

• Tot espai vectorial euclidià de dimensió $n$ és isomorf a $\mathbb {R} ^{n}$.

• Tot espai vectorial euclidià és complet. És, per tant, un cas particular d'espai de Banach.

• Dos vectors amb producte escalar nul es diuen ortogonals. En tot subespai vectorial $\mathbf {F}$ d'un espai euclidià $\mathbf {E}$ es pot associar un únic subespai $\mathbf {F} ^{\bot }$ format per tots els vectors ortogonals a tots els vectors de $\mathbf {F}$, que és el seu ortogonal.

• Si $x\,$ és un vector de $\mathbf {E}$, l'aplicació producte escalar per $x\,$,$s_{x}:y\mapsto <x,y>$ és una forma lineal. L'aplicació que associa $x\,$ a $s_{x}\,$ és un isomorfisme de l'espai vectorial $\mathbf {E}$ en el seu dual $\mathbf {E} ^{*}$.

• Si $f\,$ és un endomorfisme de $\mathbf {E}$, existeix un únic endomorfisme, que s'escriurà per $f^{*}\,$ i anomenat adjunt de $f\,$, tal que:

$\forall x,y\in \mathbf {E} ,<f(x),y>=<x,f^{*}(y)>$

Es defineix les nocions d'endomorfisme simètric si $f=f^{*}\,$, i endomorfisme antisimètric si $f=-f^{*}\,$.

En una base ortonormal, la matriu de $f^{*}\,$ és la transposada de $u\,$.