Hidroestàtica

Mecànica dels medis continus
Lleis Conservació de la massa Conservació de la quantitat de moviment Conservació de l'energia Desigualtat de l'entropia
Mecànica dels sòlids Sòlids Tensió Deformació Compatibilitat Elasticitat lineal Plasticitat Flexió Llei de Hooke Teories de falla Mecànica de la fractura Mecànica de contacte sense fricció amb fricció
Mecànica dels fluids Fluids Hidroestàtica Dinàmica de fluids Equacions de Navier-Stokes Principi de Bernoulli Flotabilitat Viscositat newtonians no newtonians Principi d'Arquimedes Principi de Pascal Pressió Líquids Tensió superficial Capil·laritat Gasos Atmosfera Llei de Boyle Llei de Charles Llei de Gay-Lussac Plasma
Reologia Viscoelasticitat Fluid intel·ligent magnetoreològic electroreològic ferrofluid Reometria Reòmetre
Científics Bernoulli Boyle Cauchy Charles Euler Gay-Lussac Hooke Pascal Newton Navier Stokes

La hidroestàtica o estàtica de fluids és la branca de la física que estudia el comportament mecànic dels fluids en repòs o equilibri, dins d'un camp de forces. Fa referència a un estat d'equilibri perquè els líquids en aparent estat de repòs en realitat estan subjectes a l'acció de forces oposades que es compensen. Els principals teoremes que suporten l'estudi de la hidroestàtica són el principi d'Arquimedes i el principi de Pascal, el primer formulat per Arquimedes al segle iii aC i va suposar la primera formulació precisa, la definitiva seria obra de Blaise Pascal durant el segle xvii.

Es consideren fluids tant els líquids com els gasos, ja que un fluid és qualsevol substància capaç de fluir; la seva forma pot canviar amb facilitat per escorriment, per l'acció de forces petites. Una de les principals diferències que existeixen entre els diferents fluids (líquids i gasos) és el seu coeficient de compressibilitat, és a dir, mentre que els líquids són gairebé incompressibles, els gasos són molt fàcils de comprimir.

La força fonamental de la hidroestàtica és la pressió, això és una conseqüència directa del fet que, en repòs, els líquids comuns, i els fluids en general, no resisteixen esforços de cisallament i exerceixen una força perpendicular sobre qualsevol superfície. Contra el que es pensa habitualment, la pressió de l'aigua contra el mur d'una presa no depèn de la quantitat d'aigua sinó de l'altura de l'aigua.

Taula d'hidràulica i hidroestàtica, Cyclopaedia, 1928

Equació fonamental de l'estàtica de fluids

Si un fluid de densitat $\rho$ està en equilibri, cadascuna de les seves parts també ho estarà. Si hom agafa dins del fluid un petit element, horitzontal i en forma de disc a una profunditat $y$ i gruixa $dy$, d'àrea transversal $A$ i masa $dm$, es pot aplicar la primera llei de Newton (la suma de les forces ha de ser zero). Les forces que actuen són:

• el pes $(dm)g$, per avall, amb $g$ la intensitat del camp gravitatori dins del fluid;
• la força sobre la superfície superior que serà la pressió hidroestàtica per l'àrea $pA$, ja que la pressió és força dividit per àrea $p=F/A$, i que també actua per avall; i
• la força sobre la superfície inferior, que actua per amunt, també deguda a la pressió, però superior a l'anterior, i que val $(p+dp)A$.

Per tant la suma de les forces és, agafant l'eix vertical positiu per avall per expressar-ho en profunditats:

$$(dm)g+pA-(p+dp)A=0$$

Simplificant i susbtituïnt $dm$ per $\rho dV=\rho Ady$, queda:

$$\rho dVg-Adp=0\quad \quad {\textrm {o}}\quad \quad \rho gAdy-Adp=0$$

Finalement dividint per $A$ i separant els membres, hom obté:

$$dp=\rho gdy$$

En un fluid incompressible la pressió $\rho$ és constant i el camp gravitatori pràcticament també ho és (la diferència de profunditat entre els dos punts hauria de ser de molts quilòmetres). L'anterior equació es pot integrar per a un punt a una profunditat $y_{0}$ i un altre més profund $y$ que tenen les pressions $p_{0}$ i $p$, respectivament, per obtenir la variació de la pressió amb la profunditat:$$\int _{p_{0}}^{p}dp=\rho g\int _{y_{0}}^{y}dy$$$$p-p_{0}=\rho g(y-y_{0})$$$$p=p_{0}+\rho gh$$

on $h$ és la diferència de profunditats entre els punts en què la pressió és $p$ i $p_{0}$​. Aquesta és l'equació fonamental de l'estàtica de fluids. La pressió $p_{0}$ sovint s'agafa com la pressió de la superfície del fluid que és la pressió atmosfèrica.

Diferents recipients (vasos) connectats per la seva base contenen diferent volum de líquid, però l'alçada és igual en tots ells perquè la pressió és la mateixa a la base.

Vasos comunicants

Article principal: Vasos comunicants

S'anomenen vasos comunicants al sistema format per dos recipients o més units connectats per sota del nivell de fluid (líquid o gas més dens que l'aire) que contenen, en el qual es compleix l'equació fonamental de la hidroestàtica, segons la qual, en estat d'equilibri, si el fluid no és homogeni, totes les branques del sistema, comptades per damunt del punt d'unió, contenen el mateix pes de fluid; si aquest és homogeni, en estat d'equilibri, com a cas particular, tots els punts d'un mateix pla horitzontal són sotmesos a la mateixa pressió i, per tant, tots els situats en la superfície lliure són en el mateix pla horitzontal.

Paradoxa hidroestàtica

Article principal: Paradoxa hidroestàtica

Aplicant la paradoxa hidroestàtica una columna molt alta, però molt prima, d'aigua pot exercir una força molt elevada capaç de fer esclatar una bota. És el rebenta-botes de Pascal.

La paradoxa hidroestàtica consisteix en el fet que quantitats molt diferents d'un líquid introduïdes en recipients diferents poden produir, sobre els fons dels respectius recipients, la mateixa pressió, si les formes dels recipients són les adequades. L'explicació de la paradoxa està en el fet que la pressió que exerceix un líquid sobre el fons del recipient que el conté depèn, només, de l'altura $h$ atesa pel líquid en el recipient, com indica l'equació fonamental de la hidroestàtica: ${\textstyle p=p_{0}+\rho gh}$.

Llei baromètrica

Article principal: Fórmula baromètrica

La relació entre la pressió i l'altura (o profunditat) és més complexa en un gas que en un líquid. La densitat d'un líquid és pràcticament constant, mentre que la densitat d'un gas és, aproximadament, proporcional a la pressió ($\rho =kp$).

Podem calcular l'expressió de la variació de la pressió amb l'alçada a l'atmosfera de la Terra. La relació de densitat i pressió de l'aire a nivell de la mar és $\rho _{0}=kp_{0}$. Emprant l'expressió general hom pot eliminar la constant $k$:

$${\frac {\rho }{p}}={\frac {\rho _{0}}{p_{0}}}$$

Ara substituïm a la relació de la pressió i l'alçada (el signe s'ha de canviar a negatiu perquè és alçada i no profunditat) i separam variables per poder integrar entre dos punts:

$$dp=-\rho gdy=-{\frac {\rho _{0}}{p_{0}}}pgdy\quad \quad {\textrm {o}}\quad \quad {\frac {dp}{p}}=-{\frac {\rho _{0}}{p_{0}}}gdy$$

Representació gràfica de la llei baromètrica.

Integrant entre el nivell de la mar $y=0$ i un punt a una altura $h$:

$$\int _{p_{0}}^{p}{\frac {dp}{p}}=-{\frac {\rho _{0}g}{p_{0}}}\int _{0}^{h}dy$$$$\ln p-\ln p_{0}=-{\frac {\rho _{0}g}{p_{0}}}h\quad \quad {\textrm {o}}\quad \quad \ln {\frac {p}{p_{0}}}=-{\frac {\rho _{0}g}{p_{0}}}h\quad \quad {\textrm {o}}\quad \quad p=p_{0}e^{-(\rho _{0}g/p_{0})h}$$

Aquest resultat conegut com a llei o fórmula baromètrica indica que la pressió de l'aire disminueix exponencialment amb l'altura i no és lineal com dins l'aigua.

Principi de Pascal

Article principal: Principi de Pascal

Si s'exerceix una força sobre l'èmbol de la dreta s'origina dins del fluid una pressió que dona lloc a forces perpendiculars a totes les superfícies (si el recipient és esfèric la direcció és radial).

El principi de Pascal afirma que, en un fluid en repòs en un recipient tancat, un canvi de pressió en una part es transmet sense pèrdua a cada porció del fluid i a les parets del recipient. El principi fou enunciat per primera vegada pel científic francès Blaise Pascal (1623-1662).

Pascal també descobrí que la pressió en un punt d'un fluid en repòs és la mateixa en totes direccions; la pressió seria la mateixa en tots els plans que passen per un punt específic. Aquest fet també es coneix com a principi de Pascal o llei de Pascal.

Premsa hidràulica. Una força $F_{1}$ exercida sobre el pistó $C_{1}$ de superfície petita $A_{1}$ exerceix una pressió sobre el líquid que es transmet a tots els punts del líquid.

Premsa hidràulica

Article principal: Premsa hidràulica

La pressió és igual a la força dividida per l'àrea sobre la qual actua. Segons el principi de Pascal, en un sistema hidràulic, una pressió exercida sobre un pistó produeix un augment igual de pressió sobre un altre pistó del sistema. Si el segon pistó té una àrea 10 vegades superior a la del primer, la força sobre el segon pistó és 10 vegades més gran, tot i que la pressió és la mateixa que la del primer pistó.

$$\Delta p_{1}=\Delta p_{2}\quad \quad {\frac {F_{1}}{A_{1}}}={\frac {F_{2}}{A_{2}}}$$$$F_{2}=F_{1}{\frac {A_{2}}{A_{1}}}$$

Aquest efecte s'exemplifica per la premsa hidràulica, basada en el principi de Pascal, que s'utilitza en aplicacions com ara frens hidràulics o en altres mecanismes hidràulics.

Un cos submergit dins d'un fluid és afectat per dues forces, la força de la gravetat $F_{G}$ (o pes $P_{c}$) que actua verticalment per avall, i un empenyiment o força ascensional $F_{A}$, també vertical però per amunt. Si una és major que l'altre el cos es mourà en el seu sentit.

Principi d'Arquimedes

Article principal: Principi d'Arquimedes

El principi d'Arquimedes és un dels principis fonamentals de l'estàtica de fluids, segons el qual un cos submergit en un fluid és afectat per una força ascensional (empenyiment d'Arquimedes) aplicada al metacentre igual al pes del fluid desallotjat. Per a un cos de volum ${\textstyle V_{c}}$ i massa $m_{c}$ submergit dins d'un fluid de densitat $\rho _{f}$ en un lloc on la gravetat és $g$, la força ascensional o empenyiment és igual al pes del fluid que ocuparia el lloc del cos $P_{f}=m_{f}g$ i s'obté la relació:

Un globus aerostàtic pot elevar-se dins l'aire perquè la seva densitat total és inferior a la de l'aire.

$$F_{A}=P_{f}=m_{f}g=\rho _{f}gV_{c}$$

Aquesta força ascensional és deguda a la diferència de pressions que hi ha entre la part superior del cos $p_{sup}$ i la inferior $p_{inf}$. Aquestes pressions originen forces, per avall a la part superior $F_{sup}$ i per amunt a la inferior $F_{inf}$, segons el principi de Pascal i l'equació fonamental de l'estàtica de fluids (les forces laterals s'anul·len). Com que la inferior sempre és major que la superior, la diferència és la força ascensional: Suposant un cub submergit d'alçada $d$ i superfícies inferior i superior $A$ dins d'un fluid de densitat $\rho _{f}$, la diferència de forces és:

$$F_{inf}-F_{sup}=p_{inf}A-p_{sup}A=(\rho _{f}gh)A-[\rho _{f}g(h-d)]A=\rho _{f}gdA=\rho _{f}gV_{c}$$

Flotabilitat

L'oli d'oliva i l'aigua són immiscibles. Les gotetes d'oli d'oliva són afectades per una força ascensional de l'aigua que les fa pujar per amunt. L'oli d'oliva té una densitat de 0,916 g/cm³, inferior a la de l'aigua, que és d'1,00 g/cm³ ($\rho _{oli}<\rho _{aigua}$)

Article principal: Flotabilitat

El principi d'Arquimedes és la base per estudiar la flotabilitat dels cossos dins dels fluids:

• Si el pes del cos $P_{c}=m_{c}g$ és superior a la força ascensional ($P_{c}>F_{A}$) el cos s'enfonsarà, com ara una pedra, una barra de ferro, un plom de pescar... dins l'aigua.
• Si és inferior ($P_{c}<F_{A}$) el cos ascendirà cap a la superfície i romandrà en equilibri, surarà, quan el volum submergit doni lloc a una foça ascensional igual al pes del cos. És el cas de les embarcacions que naveguen per la superfície de la mar, d'un riu o un llac o l'oli que se separa de l'aigua i queda a damunt d'ella.
• Si són iguals ($P_{c}=F_{A}$) el cos quedarà dins el fluid al lloc on se'l dipositi. Un exemple són els submarins que poden navegar a una determinada profunditat o els globus aerostàtics quan es desplacen a una certa alçada.

Per saber si un cos surarà dins d'un fluid és suficient comparar les seves densitats, ja que tant la gravetat com el volum són iguals ($V_{c}=V_{f}$) per a les dues forces, el pes del cos $P_{c}=\rho _{c}gV_{c}$ i la força ascensional $F_{A}=\rho _{f}gV_{c}$:

$$\rho _{c}\gtreqqless \rho _{f}$$

Història

Arquimedes segons l'escultor Dupuis (1900).

Si bé ja s'havien plantejat nombrosos problemes sobre cossos flotants abans de la seva època, fou Arquimedes (287-212 aC) qui no tingué cap precursor significatiu en la presentació de la hidroestàtica com un corpus unificat de coneixement científic. Exposà una sèrie d'arguments curosament raonats que, en general, desembocaven en l'aplicació del principi que acabaria duent el seu nom (principi d'Arquimedes). L'estàtica d'Arquimedes es fonamenta sòlidament en una base empírica, la qual combinà de manera molt fructífera amb conceptes teòrics com l'equilibri, la gravetat i la fluïdesa.

Malgrat alguns intents esporàdics d'ampliar la hidroestàtica d'Arquimedes, no fou fins al segle xvi que es produïren avenços importants. El venecià Giovanni B. Benedetti (1530-1590) realitzà nombroses aportacions a la mecànica i, en analitzar el comportament de l'aigua en els tubs d'una bomba emprada en una font, estigué a punt de descobrir el principi de la premsa hidràulica.

Simon Stevin.

Simon Stevin (1548-1620), matemàtic i físic flamenc, exposà una noció correcta de la pressió hidroestàtica, de la seva transmissió i de la seva acció uniforme en totes les direccions i, més particularment, sobre superfícies obliqües. La seva obra L'Estàtica del 1586 marca una fita molt important en la història de la mecànica, ja que Stevin hi imità el rigor axiomàtic d'Arquimedes en aplicacions tant a l'estàtica com a la hidroestàtica. Destaca la seva demostració que la pressió hidroestàtica a la base d'un recipient depenia únicament del pes del líquid contingut en una columna vertical des de la base fins a la superfície del líquid.

Paradoxa hidroestàtica. La pressió en el fons dels recipients no depèn del pes de tot el líquid contingut, sinó només de l'alçada.

Aquestes consideracions menaren a l'enunciat de la «paradoxa hidroestàtica». Stevin demostrà que la força exercida per un fluid sobre el fons del recipient que el conté depenia només de la mida de la superfície del fons i de l'alçada de la columna de líquid per sobre d'aquesta, i no tenia relació amb la forma del recipient. Aquesta conclusió fou demostrada mitjançant un procediment experimental que emprava recipients de formes diferents, els quals contenien la mateixa profunditat de líquid sobre bases de la mateixa àrea. A través d'aquests experiments, Stevin observà com un pes petit en un tub estret podia exercir una pressió molt gran sobre un èmbol en un tub més ample, suggerint així el principi en el qual es basaria la invenció de la premsa hidràulica.

Blaise Pascal.

El francès Blaise Pascal (1623-1662) presentà un corpus de coneixement coherent i ordenat de l'estàtica de fluids a partir dels coneixements dispersos que ja es coneixien. El sistema de Pascal fou desenvolupat en els dos tractats publicats pòstumament el 1663, dedicats un a l'equilibri dels líquids i l'altre al pes de l'aire (Traités de l'équilibre des liqueurs et de la pesanteur de la masse de l'air). Els precursors immediats de Pascal semblen haver estat Stevin i Benedetti en la hidroestàtica, Galileu (1564-1642) per la relació amb l'estàtica, i Evangelista Torricelli (1608-1647) i René Descartes (1596-1650) pels principis de l'estàtica necessaris. En els seus dos tractats, Pascal no només unificà la ciència de la hidroestàtica, sinó que la coordinà amb la pneumàtica, la qual demostrà que es podia exposar de tal manera que els mateixos principis generals regissin el comportament tant dels gasos com dels líquids.

L'estàtica dels fluids gasosos s'havia desenvolupat en relació amb dos problemes concrets: el pes (o la manca de pes) de l'aire i l'existència (o no-existència) del buit. Malgrat les crítiques incisives de Simplici, foren les tesis d'Aristòtil les que es mantingueren fermament durant segles, ja que l'experimentació encara no havia pogut resoldre de manera inequívoca les qüestions implicades. El metge francès Jean Rey (1576-1645) formulà una concepció correcta de la pressió atmosfèrica en relacionar-la amb la pressió en un líquid. El triomf per als partidaris de la concepció que l'aire tenia pes i l'atmosfera, pressió, arribà amb l'experiment de Torricelli. La interpretació que Torricelli oferí a tall d'hipòtesi sobre la pressió atmosfèrica en un «mar d'aire» fou ulteriorment corroborada per Pascal, fonamentalment sobre la base de l'experiment baromètric del Puy de Dôme. Ell mostrà la identitat dels conceptes de pes de l'aire i de pressió atmosfèrica, i sostingué que «la natura no té cap horror al buit, i que la pesantor de la massa de l'aire és la causa veritable de tots els efectes que hom havia atribuït prèviament a aquesta causa imaginària».

El segle xvii continuà el desenvolupament a partir del punt de partida de Pascal amb investigadors com l'irlandès Robert Boyle (1627-1691) i el saxó Otto von Guericke (1802-1686). Posteriorment, la mecànica newtoniana forní la base per a gran part del desenvolupament de la teoria matemàtica de la hidroestàtica al segle xviii, amb Pierre Bouguer (1698-1758), Colin Maclaurin (1698-1746), Alexis C. Clairaut (1713-1765), Leonhard Euler (1707-1783) i Jean le Rond d'Alembert (1717-1783). Durant la mateixa centúria, la hidroestàtica esdevingué part de la mecànica analítica de Joseph Louis Lagrange (1736-1813), mentre que, finalment, a l'inici del segle xix, s'integrà en la mecànica general de Siméon Denis Poisson (1781-1840).

Vegeu també

• Hidràulica
• Hidrodinàmica
• Empenyiment
• Premsa hidràulica
• Sifó
• Vasos comunicants

Viccionari