La notació multi-índex és una notació matemàtica que simplifica les fórmules utilitzades en el càlcul multivariable, les equacions diferencials parcials i la teoria de les distribucions, generalitzant el concepte d’un índex enter en una N-pla ordenada d’índexs.
Definició i propietats bàsiques[modifica]
Un índex múltiple n- dimensional és una n - tupla
![{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70122d07b448b26cbd14d9542d648d5c761d3107)
de nombres enters no negatius (és a dir, un element del conjunt n - dimensional de nombres naturals, denotat
).
Per a índexs múltiples
i
es defineix:
- Suma i diferència per components
![{\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6b5d7d524ee5390e8ad81b8ee3d74d81261d70)
- Ordre parcial
![{\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5cbb846993d49f8992be68de9b846d277e187ec)
- Suma de components (valor absolut)
![{\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7832f93f42cce41671070ecf5a4135255fb4c93a)
- Factorial
![{\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c5ec408016ade71f03fa953438c6e9560a32a05)
- Coeficient binomial
![{\displaystyle {\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7812d634fd363aaf49931bf182ee1b6b1b4657f)
- Coeficient multinomial
![{\displaystyle {\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha !}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1dc48a1ccf7e0afd58da2e73578d740825ee90d)
on
.
- Potència
.
- Derivada parcial d’ ordre superior
![{\displaystyle \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d599bf37f9a42d9bd5af502e78bdb11f797eff)
on
(vegeu també 4 gradients). De vegades la notació
també s’utilitza.[1]
Algunes aplicacions[modifica]
La notació multi-índex permet l'extensió de moltes fórmules des del càlcul elemental fins al cas multivariable corresponent. A continuació en detallem alguns exemples. En tot el següent,
(o
),
, i
(o
).
- Teorema multinomial
![{\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\biggr )}^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\binom {k}{\alpha }}\,x^{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c144ffc0893748b9c4119fe1ed81d4bb914846f)
- Teorema multi-binomial
![{\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db39d7304e8fba5771d4a36ee307044d1b1df7b4)
Tingueu en compte que, atès que x+y és un vector i α és un índex múltiple, l'expressió de l'esquerra és curta per (x1+y1)α1...(xn+yn)αn .
- Fórmula de Leibniz
Per a funcions fluixes f i g
![{\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ef0670fad1007b937c3a9a82a6c497046feb1d6)
- Sèrie de Taylor
Per a una funció analítica f en n variables es té
![{\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}^{}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/876d4e484fff118421fa290f089b77c8e1bdda3e)
De fet, per a una funció prou suau, tenim l' expansió similar de Taylor
![{\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9527adc0a8f66e4a1dde784952c7185e1718e11c)
on l'últim terme (el que queda) depèn de la versió exacta de la fórmula de Taylor. Per exemple, per a la fórmula de Cauchy (amb resta integral), s'obté
![{\displaystyle R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7c54a9fbc554936f0927b1cf90b89c86aa506b0)
- Operador diferencial parcial
Un operador diferencial parcial d'ordre N lineal formal en n variables s'escriu com
![{\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8337065ee25c08f25c133f4ddb728bd9e8dd8231)
- Integració per parts
Per a funcions fluides amb suport compacte en un domini limitat
un té
![{\displaystyle \int _{\Omega }{}{u(\partial ^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{}{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6542070b9eaa44eaab4d070c9706900d637faf26)
Aquesta fórmula s’utilitza per a la definició de distribucions i derivats febles.
Un teorema d’exemple[modifica]
Si
són multiíndexs i
, doncs
![{\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{otherwise.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03bfecd43d58ed90056fcb96123644095c3db8f1)
La demostració es desprèn de la regla de potència per a la derivada ordinària ; si α i β són a {0, 1, 2, . . .}, doncs
![{\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{otherwise.}}\end{cases}}\qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e5c6a7714c8b0ef8a987d47fb5d7620faa480c)
Suposem
,
, i
. Llavors tenim això
![{\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n}}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c5a4a78a610adf197ab62f8f42c3a9924a92b2e)
Per a cada i de {1, . . ., n }, la funció
només depèn de
. A l’anterior, cada diferenciació parcial
per tant, es redueix a la diferenciació ordinària corresponent
. Per tant, de l'equació (1) se’n desprèn
s'esvaeix si α i > β i per almenys un i a {1, . . ., n }. Si no és el cas, és a dir, si α ≤ β com a índexs múltiples, doncs
![{\displaystyle {\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71dc5027a5bbd718f053ca6514950f6e600c6087)
per cada
i. el teorema segueix.
- ↑ Reed, M. Methods of Modern Mathematical Physics: Functional Analysis I. Revised and enlarged. San Diego: Academic Press, 1980, p. 319. ISBN 0-12-585050-6.
- Aquest article incorpora material derivat d'un índex múltiple d'una potència a PlanetMath, que està llicenciat sota la llicència Creative Commons Reconeixement / Compartir-Igual.