Principi d'Arquimedes

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Aquest article tracta sobre un principi físic. Si cerqueu l'entrada biogràfica de qui el va enunciar, vegeu «Arquimedes».
Exemple del principi d'Arquimedes

El principi d'Arquimedes, enunciat pel físic grec Arquimedes de Siracusa, és un dels principis més importants de la física i un dels fonamentals en estàtica de fluids.[1] Postula el següent:

Un cos insoluble totalment o parcialment submergit en un fluid (líquid o gas) en repòs rep una força de baix cap a dalt igual al pes del volum del fluid que desallotja.

Aquesta força ascensional rep el nom d'empenyiment[2] o empenyiment d'Arquimedes[1] i, com qualsevol altra força, es mesura en newtons. L'equació del principi d'Arquimedes és la següent:

E =\ mg =\ \rho_f gV

On:

L'empenyiment depèn, doncs, de la densitat del fluid, del volum del cos i de la gravetat. La força resultant actua verticalment cap amunt i s'aplica al centre de gravetat del volum de fluid desplaçat: aquest punt s'anomena centre de carena. En la pràctica, el principi d'Arquimedes explica que tot allò que sura és perquè desallotja un pes de líquid superior al seu propi pes; així, l'empenyiment és superior al pes i l'objecte sura. Per exemple, cal molta força per a submergir una pilota a l'aigua, perquè desallotja molta aigua però en canvi pesa poc, ja que està plena d'aire. Si s'omple la pilota de sorra, el pes serà superior a l'empenyiment i la pilota s'enfonsarà.

El principi d'Arquimedes no té en compte la tensió superficial (capil·laritat) que actua sobre el cos.[3]

Història[modifica | modifica el codi]

L'anècdota més coneguda sobre Arquimedes explica com va inventar un mètode per determinar el volum d'un objecte amb una forma irregular. Segons Vitruvi, arquitecte de l'antiga Roma, s'havia fabricat una nova corona amb forma de corona triomfal per a Hieró II, governador de Siracusa, qui va demanar a Arquimedes que determinés si realment la corona estava feta d'or o si l'orfebre, de manera deshonesta, li havia afegit plata, menys valuosa.[4] Arquimedes havia de resoldre el problema sense fer malbé la corona, així que no podia fondre-la i convertir-la en un cos regular per calcular-ne la densitat.

Mentre el matemàtic grec prenia un bany, va adonar-se que el nivell d'aigua de la seva banyera quan hi entrava, i va adonar-se que aquest efecte podria usar-se per determinar el volum de la corona. Com que la compressió de l'aigua seria menyspreable,[5] la corona, en ser submergida, desplaçaria una quantitat d'aigua igual al seu propi volum. En dividir la massa de la corona pel volum d'aigua desplaçada s'obtindria la densitat de la corona, la qual seria menor si altres metalls més barats i menys densos que l'or li haguessin estat afegits fraudulentament. Després de tenir aquesta idea, Arquimedes va sortir corrent nu al carrer de tan emocionat que estava pel seu descobriment, cridant «eureka!» (en grec antic "εύρηκα", que significa "ho he trobat").[6]

La història de la corona daurada no apareix explicada en els treballs coneguts d'Arquimedes, però al seu tractat Sobre els cossos flotants hi postula el principi d'hidrostàtica conegut com a principi d'Arquimedes.[7]

Demostració[modifica | modifica el codi]

Encara que el principi d'Arquimedes va ser introduït com un principi, realment pot considerar-se un teorema demostrable a partir de les equacions de Navier-Stokes per a un fluid en repòs mitjançant el teorema de Stokes (el principi d'Arquimedes també pot deduir-se matemàticament de les equacions d'Euler per a un fluid en repòs, que al seu torn poden deduir-se generalitzant les lleis de Newton a un medi continu). Partint de les equacions de Navier-Stokes per un fluid:

(1)\rho_f\left[\frac{\part\mathbf{v}}{\part t} +\mathbf{v}(\boldsymbol\nabla\cdot \mathbf{v})\right]= \mu\Delta\mathbf{v} - \boldsymbol\nabla p + \rho_f\mathbf{g}

La condició que el fluid incompresible que estigui en repòs implica prendre en l'equació anterior \mathbf{v}=0, la qual cosa permet arribar a la relació fonamental entre pressió del fluid, densitat del fluid i acceleració de la gravetat:

(2)0 = - \boldsymbol\nabla p + \rho_f\mathbf{g}

A partir d'aquesta relació es pot reescriure fàcilment les forces sobre un cos submergit en termes del pes del fluid desallotjat pel cos. Quan se submergeix un sòlidK en un fluid, en cada punt de la seva superfície apareix una força per unitat de superfície \scriptstyle \mathbf{f} perpendicular a la superfície en aquest punt i proporcional a la pressió del fluid p en aquest punt. Si s'anomena \scriptstyle \mathbf{n} = (n_x,n_y,n_z) al vector normal a la superfície del cos, es pot escriure la resultant de les forces \scriptstyle \mathbf{f} = -p\mathbf{n} senzillament mitjançant el teorema de Stokes de la divergència:

(3)\begin{cases}
F_x = \int_{S_K} f_x dS = \int_{S_K} -p n_x dS\\
F_y = \int_{S_K} f_y dS = \int_{S_K} -p n_y dS\\
F_z = \int_{S_K} f_z dS = \int_{S_K} -p n_z dS \end{cases} \quad \Rightarrow \begin{cases}
F_x = \int_{V_K} \cfrac{\part (-pn_x)}{\part x} dV \\
F_y = \int_{V_K} \cfrac{\part (-pn_y)}{\part y} dV \\
F_z = \int_{V_K} \cfrac{\part (-pn_z)}{\part z} dV \end{cases}


\Rightarrow\qquad \mathbf{F} = \int_{\part V_K} -p \mathbf{n}\cdot d\mathbf{S}=
\int_{V_K} -\boldsymbol\nabla p\ dV = \int_{V_K} -\rho_f \mathbf{g}\ dV = -\rho_f \mathbf{g}\ V_K

on l'última igualtat es dóna només si el fluid és incompresible.

Prisma recte[modifica | modifica el codi]

Per un prisma recte de base Ab i altura H,submergit en posició totalment vertical, la demostració anterior és elemental. Per la configuració del prisma dins del fluid, les pressions sobre l'àrea lateral només produeixen empentes horitzontals que, a més, s'anul·len entre si i no contribueixen a sustentar-lo. A les cares superior i inferior, com que tots els seus punts estan submergits a la mateixa profunditat, la pressió és constant i es pot usar la relació Força = Pressió x àrea, i tenint en compte la resultant sobre la cara superior i inferior es té

(4)E = p_{inf}A_b-p_{sup}A_b \;

on p_{inf} és la pressió aplicada sobre la cara inferior del cos, p_{sup} és la pressió aplicada sobre la cara superior i A és l'àrea projectada del cos. Tenint en compte l'equació general de la hidrostàtica, que estableix que la pressió en un fluid en repòs augmenta proporcionalment amb la profunditat:

(5)p(z)= \rho_f gz \rightarrow E = p_{inf}A-p_{sup}A = \rho_f g(z_{inf}-z_{sup}) A = \rho g(HA)

Introduint en el darrer terme el volum del cos i multiplicant per la densitat del fluid ρf es pot veure que la força vertical ascendent FV és precisament el pes del fluid desallotjat.

(6)E =\rho_f gV_{des}\;

L'empenta o força que exerceix un líquid sobre un cos, en forma vertical i ascendent, quan aquest es troba submergit, resulta ser també la diferència entre el pes que té el cos suspès en l'aire i el "pes" que té el mateix quan s'introdueix en un líquid. A aquest darrer s'el coneix com a pes aparent del cos, ja que el seu pes en el líquid disminueix "aparentment"; la força que exerceix la Terra sobre el cos roman constant, però el cos, al seu torn, rep una força cap amunt que disminueix la resultant vertical.

(7)E = P_{CA} - P_{CL}\;

On P_{CA} és el pes del cos a l'aire i P_{CL} és el pes del cos submergit en el líquid.

Referències[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Principi d'Arquimedes Modifica l'enllaç a Wikidata