Usuari:Maeglo/Nombre Liouville

Dins la  teoria de número, un Liouville és un  número irracional x amb la propietat que, per cada enter positiu n, allà existir enters p i q amb q > 1 i per tal: 

${\displaystyle }$

 El número així pot ser aproximat   per una seqüència de números racionals. Al 1844, Joseph Liouville va mostrar que tots els números Liouville  són transcendentals, per això va establir l'existència de números transcendentals per primer cop.

L'existència dels nombres  Liouville (constant de Liouville)

Aquí mostrem que  els números Liouville existeixen  exhibint una construcció que produeix tals números.

Per qualsevol nombre enter b ≥ 2, i qualsevol seqüència d'enters (a1, a2, …, ), tal que a_k ∈ {0, 1, ₂, …, b - ₁} ∀k ∈ {1, 2, 3, …} i a més hi ha infinitament moltes k amb ak ≠ 0, defineixen el nombre

${\displaystyle }$

En el cas especial , quan b = 10, i ak = 1, ∀k, el número resultant  x es diu constant de Liouville . El binari de la constant de Liouville,  obtengut amb b = 2, i ak = 1, ∀k, és el número:

• x = 0.110001000000000000000001…2 = 2−1 + 2−2 + 2−6 + 2−24 + 2−120 + … = 0.76562505960464477…10  (Seqüència A092874 al OEIS)

Segueix la definicio de x que la seva base-b representada es:

x=(0.a1a2000a30000000000000a400...)b. Des d'aquesta base-b la seva representació no es repeteix , segueix que x no pot ser racional. Per això, per qualsevol número racional p/q, hem |x − p/q | > 0.

Ara, per qualsevol enter n ≥ 1, defineix qn i pn de la manera següent:

${\displaystyle }$

Llavors,

${\displaystyle }$

...Des d'on la ultima igualtat segueix el fet que:

${\displaystyle }$

Per això, podem concloure  que qualsevol x és un  número Liouville.

Irracionalitat

Una definició equivalent a la donada  damunt és que per qualsevol enter positiu n, allà existeix un número infinit de parells d'enters (p, q ) obeint la desigualtat.

Ara mostrarem que el número x = c/d, on c i d són enters i d > 0, no poden satisfer les desigualtats que defineixen un número Liouville. Des que cada número racional pot ser representat com a tal c/d, hauriem provat que cap numero Liouville pot ser racional.

 Més concretament, mostrem que per qualsevol enter positiu N  prou gran que 2n ^- 1 > d > 0 (això és, per qualsevol enter n > ¹ + log2(d ) ) cap parell d'enters (p, q ) existeix que pot satisfaer simultàniament les dues desigualtats.

${\displaystyle }$

D'aquesta  conclusió  segueix.

Deixat que  p i q  poden ser qualssevol enter amb q > 1. Llavors tenim,

${\displaystyle }$

Si |cq - dp | = 0, tindríem

${\displaystyle }$

Significant que tal parell d'enters (p, q ) violaria  la primera desigualtat en la definició d'un  número Liouville, independentment  de qualsevol elecció de n.

Si, d'altra banda, |cq - dp | > 0, llavors, des de cq - dp és un número enter, podem afirmar la desigualtat més aguda |cq - dp | ≥ 1. D'aquest segueix això:

${\displaystyle }$

Ara per qualsevol número enter n > 1 + log2(d ),la duració de la desigualtat damunt implica:

${\displaystyle }$

Per això, en el cas |cq - dp | > 0 tal parell d'enters (p, q ) violen  la segona desigualtat en la definició d'un número  Liouville , per algun enter positiu n.

Per concloure que no hi ha cap parell d'enters (p, q ), amb q >1, que qualificarien tal un x = c/d com a número Liouville .

Per això un número Liouville , si existeix, no pot ser racional.

(La secció en la constant de Liouville  prova que els números de Liouville  existeixen per exhibir la construcció d'un. La prova donada en aquesta secció implica que aquest número ha de ser irracional.)

Uncountability

Considera, per exemple, el número

3.1400010000000000000000050000....

3.14(3 zeros)1(17 zeros)5(95 zeros)9(599 zeros)2...

On els dígits són zero excepte en posicions n! On els iguals de enèsim digit que segueix el punt decimal en l'expansió decimal de π.

Com és mostrat en la secció en l'existència dels números Liouville ,  aquest número, així com qualsevol altre decimal que no determina  amb el seu no-zero dígits semblantment situats, satisfaeix  la definició d'un número Liouville. Des del conjunt de totes les seqüències de no-nul,  els dígits ténen  la cardinalitat del continu, la mateixa cosa ocorre amb el conjunt de tots els números Liouville .

A més, els números Liouville  formen un subconjunt dens del conjunt de números reals.

 Números Liouville i mesura

Des del punt de vista de la  teoria de la  mesura, el conjunt de tots els números  Liouville  L és petit. Més concretament, Lebesgue la seva  mesura és zero. La prova donada segueix algunes idees per John C. Oxtoby.

Per enters positius n > 2 i q ≥ 2 conjunt:

${\displaystyle }$

Tenim

${\displaystyle }$

Observa que per cada enter positiu n ≥ 2 i m ≥ 1, també tenim

${\displaystyle }$

De llavors ençà

${\displaystyle }$

I n > 2 , tenim:

${\displaystyle }$

Ara:

${\displaystyle }$

I segueix que per cada enter positiu m, L ∩ (−m, m) té mesura zero de Lebesque.  Consegüentment, així té  L.

Per contrast, La mesura de Lebesque és conjunt T de tots  els números transcendentals reals és infinit (des de T és el complementar d'un null conjunt).

De fet, La dimesió de Hausdorff  (Hausdorff dimensió)  de L és zero, el qual implica que el Hausdorff mesura de L és zero per tota dimensió d > 0. La dimensió de Hausdorff  de L sota altres funcions de dimensió també han estat investigades.

Estructura del conjunt de números de Liouville 

Per cada enter positiu n 

${\displaystyle }$

El conjunt de tot  els números de Liouville poden ser escrits així:

${\displaystyle }$

Cada Un és un conjunt obert; mentre la seva clausura conté tots els racionals (el {p/q}  de cada interval punxat), és també un subconjunt dens de línia real. De llavors ençà és la intersecció de  molts contables tal conjunts densos oberts, L és comeagre, és a dir, és un conjunt de Gδ dens.

Juntament amb el damunt remarca aproximadament sobre la mesura, mostra que el conjunt de números de  Liouville  i el seu complement descompòn els  reals a dos conjunts, un del qual és minso, i l'altre de Lebesgue mesura zero.

Mesura d'irracionalitat

La mesura d'irracionalitat (o exponent d'irracionalitat o exponent d'aproximació o Liouville–Roth constant) d'un número real x és una mesura de com "de prop" pugui ser aproximat dels racionals. Generalitzant la definició dels  números de Liouville , en comptes de permetre qualsevol n en el poder de q, trobem el menys superior lligat del conjunt de números reals μ tal que

${\displaystyle }$

És satisfet per un número infinit de parells d'enters (p, q) amb q > 0. Això lligat al menys superior  és definit per ser la mesura d'irracionalitat de x. Per qualsevol valor μ menys d'aquest lligat superior , el conjunt infinit de tots els racionals p/q satisfent pel damunt la desigualtat, cedeix una aproximació de x. Per contra, si μ és més gran que el lligat superior , llavors hi ha com a màxim  molts (p, q) amb q > 0 que satisfan la desigualtat; així, els controls de la desigualtat oposada  per tots els valors més grans de q. En altres paraules, donat la mesura d'irracionalitat μ d'un número real x, quan sigui d'una aproximació racional x ≅ p/q, p,q ∈ N collites n + 1 dígits decimals exactes, tenim

${\displaystyle }$

Excepte com a màxim un número finit de "parells" afortunats (p, q).

Per un número racional α la mesura d'irracionalitat és μ(α) = 1. El Thue–Siegel–Roth el teorema declara que si α és un número algebraic, real però no racional, llavors μ(α) = 2.

Gairebé tots els números tenen un igual de mesura de la irracionalitat a 2.

Els números transcendentals tenen mesura d'irracionalitat a 2 o més gran. Per exemple, el número transcendental e té μ(e) = 2. La mesura d'irracionalitat de π és com a màxim 7.60630853: μ(log 2)<3.57455391 i μ(log 3)<5.125.

Els números de Liouville són precisament aquells numeros que tenen una mesura d'irracionalitat infinita.

Els Números de  i transcendència

Tots els números de Liouville  són transcendentals (Será provat a sota). Establint que un número donat és un número de Liouville proporciona una eina útil per provar que  un número donat és transcendental. Tanmateix, no cada número transcendental és un número de  Liouville. Els termes en l'expansió de fracció continuada de cada número de Liouville és il·limitat ; utilitzant un argument per comptar, un pot llavors mostrar que hi ha d'haver-hi incomptables  números transcendentals que no són Liouville. Utilitzant l'expansió de fracció continuada explícita de e, un pot mostrar que e és un exemple d'un número transcendental que no és Liouville. Mahler va provar dins 1953 que π és un altre  exemple.

La prova procedeix per primer establir una propietat de números algebraics irracionals. Aquesta propietat essencialment diu que els números algebraics irracionals no poden ser aproximats per els números racionals. Un número de Liouville és irracional però no té aquesta propietat, així que no pugui ser algebràic i ha de ser transcendental. El lema següent és normalment sabut mentre  que el teorema de Liouville (en aproximació per  diophantine ), allà sent diversos resultats coneguts per el teorema de Liouville.

Lema: Si α és un número irracional que és l'arrel d'un polinòmic f de grau n > 0 amb coeficients d'enter, llavors allà existeix un número real Un > 0 tal que, per tots els enters p, q, amb q > 0,

${\displaystyle }$

Prova de Lema: Deixant M ser el valor màxim de |f ′(x)| (el valor absolut del derivat de f) sobre l'interval [α − 1, α + 1]. Deixat α1, α2, ..., αm ser les arrels distintes de f que difereixen de α. Selecciona alguns valors A > 0 que satisfAEIX

${\displaystyle }$

Ara assumim que allà existeix alguns enters p, q contradient el lema. Llavors

${\displaystyle }$

Llavors p/q és en l'interval [α − ₁, α + 1]; i p/q no és dins {α1, α2, ..., αm}, així que p/q no és una arrel de f; i no hi ha cap arrel de f entre α i p/q.

Pel teorema de valor roí, allà existeix un x0 entre p/q i α com:

${\displaystyle }$

De llavors ençà α és una arrel de f però p/q no és, veiem que |f ′(x₀)| > 0 i podem continuar:

${\displaystyle }$

Ara, f és de la forma on cada ci és un enter; així que podem expressar |f(p/q)| mentre${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

La última desigualtat s'aguanta perquè  de desigualtat perquè p/q no és una arrel de f i el ci són enters.

Per això tenim que |f(p/q)| ≥ 1/qn. Des de |f ′(x0)| ≤ M per la definició de M, i 1/M > A per la definició A , tenim allò

${\displaystyle }$

Que és una contradicció; per això, no tal p, q existeix; provant el lema.

Prova d'asserció: A conseqüència d'aquest lema, deixant x ser un número de Liouville ; anotat en el text de l'article, x és llavors irracional. Si x és algebraic, llavors pel lema, allà existeix algun enter n i alguns positius real A tal que per tot p, q

${\displaystyle }$

Deixant r ser un enter positiu tal aquell 1/(2r) ≤ A. Si vam deixar m = r + n, llavors, des de x és un  número Liouville , allà existeix enters un, b > 1 com:

${\displaystyle }$

Que contradiu el lema; per tant x no és algebraic, i és així transcendental.

Referències

Categoria:Nombres reals Categoria:Pàgines amb error de referències sense títol