Rotació impròpia

Un antiprism pentagonal amb les vores marcades mostra simetria rotoreflectional, amb un ordre 10.

En geometria, una rotació impròpia, també anomenada rotoreflexió o reflexió rotativa és, segons el context, una transformació lineal o una transformació afí resultant de la combinació d'una rotació sobre un eix i una reflexió perpendicular al pla d'aquell eix.

En 3 dimensions, és equivalent a la combinació d'una rotació i una inversió en l'eix , també anomenada rotoinversió o inversió rotativa. Una simetria tridimensional que té només un punt fix d'isometria és necessàriament una rotació impròpia.

En ambdós casos les operacions commuten. Rotoreflexió i rotoinversió són iguals si difereixen de 180 en angle de rotació °, i el punt de inversió és en el pla de reflexió.

Una rotació impròpia d'un objecte produeix doncs una rotació de la seva imatge de mirall. L'eix és anomenat l'eix de rotació-reflexió . Si l'angle de rotació és 360°/n s'anomena una rotació impròpia n-cops . La notació Sn (S per "Spiegel", alemany per mirall) denota el grup de simetria generat per una rotació impròpia n-cops . La notació és utilitzada per n-plec rotoinversion, i.e. rotació per un angle de rotació de 360°/n amb inversion.${\bar {n}}$ El Coxeter notació per S2n és [2n+,2+], i orbifold la notació és n×.

En un sentit més ample, una "rotació impròpia" pot ser definida com qualsevol isometria indirecta, i.e., un element de E(3)\E+(3) (grup Euclidià): una reflexió pura en un pla, o una reflexió lliscada. Una isometria indirecta és una transformació afí amb una matriu ortogonal de determinant −1.

Una rotació pròpia és una rotació normal. En el sentit més ample, una "rotació pròpia" és definida com una isometria directa, i.e., un element de E+(3): la identitat, una rotació amb una translació al llarg de l'eix, o una translació pura. Una isometria directa és una transformació afí amb una matriu ortogonal de determinant 1.

En qualsevol sentit, la composició de dues rotacions impròpies és una rotació pròpia, i la composició d'una rotació pròpia i impròpia és una rotació impròpia.

Quan s'estudia la simetria d'un sistema físic sota una rotació impròpia (p. ex., si un sistema té un pla de simetria de mirall), és important de distingir entre vectors i pseudovectors (així com scalars i pseudoscalars, i en general entre tensors i pseudotensors), car es transformen de forma diferent sota rotacions pròpies i impròpies (en 3 dimensions, els pseudovectors són invariants sota inversió).

Vegeu també

• Isometria
• Grup ortogonal