Arrel primitiva

Hom diu que el nombre enter $a$ és una arrel primitiva mòdul n si pertany a l'exponent $\phi(n)\pmod{n}$, és a dir, si $\phi(n)$ és l'exponent no negatiu més petit que fa $a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$, on $\phi$ és la funció Fi d'Euler.

El punt de vista de la Teoria de Grups

Des del punt de vista de la teoria de grups, que a sigui una arrel primitiva mòdul n és el mateix que dir que $(\Z / (n))^{\ast}$, el grup multiplicatiu de les unitats de l'anell ℤ/(n), és cíclic i que la classe de a n'és un generador.

Existència d'arrels primitives

• Si n és 2 o 4, hom comprova fàcilment, només escrivint-ne la taula, que el grup $(\Z / (n))^{\ast}$ és cíclic: 1 és una arrel primitiva mòdul 2 i 3 ho és mòdul 4.
• En canvi, si n és $2^{k}$, amb k > 2, el grup $(\Z / (n))^{\ast}$ ja no és cíclic, com resulta immediatament de la congruència $(2n + 1)^{2} \equiv 1 \pmod{8}$. En efecte, com que $2 < \phi(8) < \phi(16) < \phi\left(2^{k}\right) < \ldots$, és clar que els grups $(\Z / (n))^{\ast}$ no són cíclics, perquè 2 és el màxim dels ordres dels elements d'aquests grups.
• Per a nombres primers senars, p, els grups $(\Z / (p^k))^{\ast}$ són tots cíclics, per qualsevol valor de k > 0.
• Per a un nombre n qualsevol, si $n = 2^{r} p_{1}^{r_1} p_{2}^{r_2} \cdots p_{k}^{r_k}$ n'és la descomposició en factors primers, el grup $(\Z / (n))^{\ast}$ és isomorf al producte directe dels grups $(\Z / (2^{r}))^{\ast} \times (\Z / (p_{1}^{r_1}))^{\ast} \times (\Z / (p_{2}^{r_2}))^{\ast} \times \cdots \times(\Z/(p_{k}^{r_k}))^{\ast}$. Tenint en compte quins d'aquests factors són grups cíclics i el fet que el producte és cíclic si, i només si, els factors ho són i els ordres respectius són coprimers, resulta que $(\mathbb{Z} / (n))^{\ast}$ és cíclic si, i només si, el nombre n és d'una d'aquestes quatre formes: 2, 4, p^k o 2p^k. En conseqüència, hi ha arrels primitives mòdul n si, i només si, el nombre n és d'una d'aquestes quatre formes.

Obtenció d'arrels primitives

• Pel mòdul 2 només hi ha l'arrel primitiva 1 i, pel mòdul 4, només 3 ho és.
• Si a és una arrel primitiva mòdul p (amb p un nombre primer senar) aleshores, o bé a, o bé a + p és una arrel primitiva mòdul p².
• Si a és una arrel primitiva mòdul p² (amb p un nombre primer senar), aleshores a també és una arrel primitiva mòdul p^k, per tot k > 1.

Per tant, calcular arrels primitives mòdul p^k és ben senzill: a partir de les arrels primitives mòdul p es calculen les arrels primitives mòdul p² i, d'aquí, les de mòdul p^k, per qualsevol k > 1.

Però el càlcul de les arrels primitives mòdul p és molt llarg i dificultós i poca cosa més es pot fer a part de cerques exhaustives, per la qual cosa, la importància de les arrels primitives és molt gran en criptografia.

Referències

• Gauß, Carl Friedrich; Pascual Xufré, Griselda (trad.). Disquisicions aritmètiques (orig. Disquisitiones Arithmeticæ). edició en català (en llatí originalment). Barcelona: Societat Catalana de Matemàtiques (IEC), 1996. 
• Hardy, G. H.; Wright, E. M.. An Introduction to the Theory of Numbers (en anglès). Oxford: Clarendon Press, 1983. 
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael. A Classical Introduction to Modern Number Theory (en anglès). Springer-Verlag, 1990 (Graduate Texts in Mathematics). ISBN 9780387973296.