Logaritme integral

En matemàtiques, la funció logaritme integral o logaritme integral li(x) és una funció especial de rellevància significativa en problemes de física i teoria de nombres, car dóna una estimació de la quantitat de nombres primers menors que un determinat valor (teorema dels nombres primers).

Representació integral

El logaritme integral té una representació integral definida per a tots els nombres reals positius $x\ne 1$ per la integral definida :

${\rm li} (x) = \int_0^x \frac{dt}{\ln (t)}. \;$

Aquí, ln denota el logaritme natural. La funció 1/ln té una singularitat en l'instant t = 1, i la integral per x> 1 ha de ser interpretada com un valor principal de Cauchy

${\rm li} (x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \left( \int_0^{1-\varepsilon} \frac{dt}{\ln (t)} + \int_{1+\varepsilon}^x \frac{dt}{\ln (t)} \right). \;$