Usuari:Alvaro Vidal-Abarca/Varietat de banderes generalitzada

En matemàtiques, una varietat de banderes generalitzada (o simplement varietat de banderes) és un espai homogeni els punts del qual són banderes en un espai vectorial V de dimensió finita sobre un cos F. Quan F és el cos dels real o dels complexos, una varietat de banderes generalitzada és diferenciable o complexa, anomenada varietat de banderes real o complexa, respectivament. Les varietats de banderes són varietats projectives.

Hom pot definir les varietats de banderes amb diversos graus de generalitat. Un prototipus és la varietat de banderes completes d'un espai vectorial V sobre un cos F, que és una varietat de banderes pel grup lineal especial sobre F. Altres tipus de varietats de banderes sorgeixen a partir de considerar banderes parcials, o per restricció del grup lineal especial a subgrups, com ara el grup simplèctic. Pel cas de banderes parcials, hom necessita especificar la successió de dimensions de les banderes que ha de considerar. Per subgrups del grup lineal, hom ha d'imposar condicions addicionals sobre les banderes.

El concepte més general d'una varietat de banderes generalitzada és una classe de conjugació dels subgrups parabòlics d'un grup semisimple algebraic o d'un grup de Lie G: G actua transitivament per conjugació sobre una tal classe de conjugació, i l'estabilitzador d'un P parabòlic és el propi P, de tal manera que la varietat de banderes generalitzada és isomorfa a G/P. També es pot interpretar com l'òrbita de pes màxim en un espai de pesos sobre una representació projectivitzada de G. Des del punt de vista algebraic, les varietats de banderes generalitzades són precisament els espais homogenis de G que són completes com a varietats algebraiques.

Les varietats de banderes poden ser espais simètrics. Sobre els nombres complexos, les varietats de banderes corresponents són els espais simètrics hermítics. Sobre els nombres reals, un ℝ-espai és sinònim d'una varietat de banderes real, i els corresponents espais simètrics s'anomenen ℝ-espais simètrics.

Banderes en un espai vectorial

Article principal: Bandera de subespais

Una bandera en un espai vectorial V de dimensió finita sobre un cos F és una successió creixent de subespais, on «creixent» significa que cadascun és un subespai propi del següent (vegeu Filtració (matemàtiques)):

$\{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{k}=V.$

Si escrivim dim V_i = d_i, llavors tenim:

$0=d_{0}<d_{1}<d_{2}<\cdots <d_{k}=n,$

on n és la dimensió de V. Per tant, hem de tenir k ≤ n. Hom diu que una bandera és una bandera completa si d_i = i, altrament s'anomena bandera parcial. La signatura de la bandera és la successió (d₁, …, d_k).

Hom pot obtenir una bandera parcial a partir d'una bandera completa, tot eliminant algun dels seus subespais. Recíprocament, qualsevol bandera parcial es pot completar (de diverses formes) mitjançant la inserció de subespais adients.

Prototipus: la varietat de banderes completes

Segons els resultats bàsics d'àlgebra lineal, dues banderes completes qualssevol en un espai vectorial V de dimensió n sobre un cos F no són diferents l'una de l'altra, des d'un punt de vista geomètric. És a dir, el grup lineal general actua de forma transitiva sobre el conjunt de totes les banderes completes.

Fixem una base per V, i identifiquem-la amb Fⁿ, el grup lineal general del qual és el grup GL(n,F) de matrius invertibles n×n. La bandera canònica associada a aquesta base és aquella en la qual el subespai i-sim està generat pels primers i vectors de la base. Respecte a aquesta base, l'estabilitzador de la bandera canònica és grup de matrius triangulars superiors, que denotem per B_n. Aleshores, la varietat de banderes completa es pot escriure com un espai homogeni GL(n,F) / B_n, que en particular ens mostra que té dimensió n(n-1)/2 sobre F.

Notem que els múltiples de la identitat actuen de forma trivial sobre totes les banderes, i així hom pot parar especial atenció al grup lineal especial SL(n,F) de matrius amb determinant 1, que és un grup algebraic semisimple; el conjunt de matrius triangulars superiors amb determinant 1 és un subgrup de Borel.

Si el cos F és el cos dels reals o dels complexos, podem introduir un producte escalar en V tal que la base escollida sigui ortonormal. En aquest cas, qualsevol bandera completa es descompon com a suma directa de subespais unidimensionals, tot prenent els complements ortogonals. D'aquí se segueix que la varietat de banderes completa sobre els nombres complexos és l'espai homogeni

$U(n)/T^{n}$

on U(n) és el grup unitari, i Tⁿ és l'n-tor de matrius unitàries diagonals. Existeix una descripció similar sobre els nombres reals, si reemplacem U(n) pel grup ortogonal O(n), i Tⁿ per les matrius ortogonals diagonals (que tenen entrades ±1 a la diagonal).

Varietats de banderes parcials

La varietat de banderes parcials

$F(d_{1},d_{2},\ldots d_{k},\mathbb {F} )$

és l'espai de totes les banderes de signatura (d₁, d₂, … d_k) en un espai vectorial V de dimensió n = d_k sobre F. La varietat de banderes completes és el cas especial en què d_i = i per tot i. Quan k=2, aquest és un grassmannià de subespais de V de dimensió d₁.

Aquest és un espai homogeni pel grup lineal general G de V sobre F. De forma més explícita, prenem V = Fⁿ tal que G = GL(n,F). L'estabilitzador d'una bandera de subespais encaixats V_i de dimensions d_i es pot prendre com el grup de matrius triangulars superiors per blocs no singulars, on les dimensions dels blocs són n_i := d_i − d_i−1 (amb d₀ = 0).

Si ens restringim a matrius de determinant 1, aquest és un subgrup parabòlic P de SL(n,F), i per tant la varietat de banderes parcials és isomorfa a l'espai homogeni SL(n,F)/P.

Si F és el cos dels reals o dels complexos, llavors podem usar un producte escalar per descompondre qualsevol bandera en suma directa, i així la varietat de banderes parcials també és isomorfa a l'espai homogeni

$U(n)/U(n_{1})\times \cdots \times U(n_{k})$

en el cas complex, o a

$O(n)/O(n_{1})\times \cdots \times O(n_{k})$

en el cas real.

Generalització a grups semisimples

Les matrius triangulars superiors de determinant 1 són un subgrup de Borel de SL(n,F), i per tant els estabilitzadors de les banderes parcials són subgrups parabòlics. Addicionalment, una bandera parcial està determinada pel subgrup parabòlic que l'estabilitza, i les banderes parcials pertanyen a la mateixa varietat de banderes justament quan els corresponents subgrups parabòlics són conjugats.

Podem generalitzar a partir d'aquí: si G és un grup semisimple algebraic o d'un grup de Lie, llavors una varietat de banderes (generalitzada) per G és una classe de conjugació de subgrups parabòlics de G. Per tant, és isomorf, vist com un espai homogeni, a G/P, on P és un subgrup parabòlic de G. La correspondència entre subgrups parabòlics i varietats de banderes generalitzades permet entendre unes en termes de les altres.

És raonable estendre la terminologia «varietat de banderes», perquè els punts de G/P també es poden descriure per banderes. Quan G és un grup clàssic, com ara un grup simplèctic o un grup ortogonal, aquesta identificació és immediata. Si (V, ω) és un espai vectorial simplèctic, llavors una bandera parcial de V és isotròpica si la forma simplèctica s'anul·la en els subespais propis de V a la bandera. L'estabilitzador d'una bandera isotròpica és un subgrup parabòlic del grup simplèctic Sp(V,ω). Per grups ortogonals existeix una interpretació similar, encara que amb un parell de condicions addicionals. Primer, si F no és algebraicament tancat, llavors els subespais isotròpics poden no existir: per establir una teoria general, necessitem emprar els grups ortogonals descomposables. En segon lloc, pel cas d'espais vectorials de dimensió parell 2m, els subespais isotròpics de dimensió m apareixen en dos sabors («auto-duals» i «anti-auto-duals»), i hom necessita distingir-los per obtenir un espai homogeni.

Òrbites de pes màxim i varietats projectives homogènies

Si G és un grup algebraic semisimple (o un grup de Lie) i V és una representació de pes màxim de G (de dimensió finita), llavors l'espai de pes màxim és un punt en l'espai projectiu ℙ(V), i la seva òrbita per l'acció de G és una varietat algebraica projectiva. Aquesta varietat és una varietat de banderes (generalitzada), i addicionalment, qualsevol varietat de banderes (generalitzada) apareix d'aquesta manera.

Armand Borel demostrà que això caracteritza les varietats de banderes d'un grup algebraic semisimple general G: són precisament els espais homogenis complets de G, o equivalentment (en aquest context), les G-varietats projectives.

Espais simètrics

Sigui G un grup de Lie semisimple, i K el seu subgrup compacte maximal. Llavors K actua transitivament sobre qualsevol classe de conjugació de subgrups parabòlics, i per tant la varietat de banderes generalitzada G/P és una varietat riemanniana homogènia compacta K/(K∩P) amb grup d'isometria K. Addicionalment, si G és un grup de Lie complex, llavors G/P és una varietat de Kähler homogènia.

Recíprocament, els espais de Riemann homogenis

M = K/(K∩P)

admeten un grup de Lie estrictament més gran de transformacions, diguem-ne G. En el cas particular en que M és un espai simètric, aquesta observació proporciona tots els espais simètrics, si admetem un grup de simetria tan gran; aquests espais van ser classificats per Kobayashi i Nagano.

Si G és un grup de Lie complex, els espais simètrics M que sorgeixen d'aquesta manera són els espais simètrics hermítics: K és el grup d'isometria, i G és el grup de biholomorfisme de M.

Sobre els nombres reals, una varietat de banderes reals també s'anomena ℝ-espai, i els ℝ-espais que són espais simètrics de Riemann sobre K es coneixen com a ℝ-espais simètrics. Els ℝ-espais simètric que no són simètrics hermítics s'obtenen tot prenent G una forma real del grup de biholomorfisme G^c d'un espai simètric hermític G^c/P^c tal que P := P^c∩G és un subgrup parabòlic de G. Alguns exemples són els espais projectius (on G és el grup d'homografies) i les esferes (on G és el grup d'aplicacions conformes).

Bibliografia

• Baston, Robert J.; Eastwood, Michael G.. The Penrose transform : its interaction with representation theory. Oxford [England]: Clarendon Press, 1989. ISBN 9780198535652. 
• Berndt, Jürgen. «Lie group actions on manifolds» (pdf). King's College London. [Consulta: 15 agost 2013].
• Olmos, Jürgen Berndt, Sergio Console, Carlos. Submanifolds and Holonomy.. London: Chapman & Hall/CRC, 2003. ISBN 9780203499153 [Consulta: 15 agost 2013]. 
• Brion, Michel. «Lectures on the geometry of flag varieties». Institut Fourier. [Consulta: 15 agost 2013].
• Humphreys, James E. «Graduate Texts in Mathematics, volum 21». A: Linear algebraic groups. Corrected 3rd printing.. New York: Springer-Verlag, 1975. ISBN 9780387901084.