Usuari:Mcapdevila/Connexió de Cartan

En matemàtica, la construcció ctm de la connexió de Cartan a geometria diferencials una generalització àmplia del concepte de la connexió, basat en una comprensió del paper del grup afí en l'acostament usual. Va ser desenvolupat per Élie Cartan, com a part (i com a manera de formular) la seva mètode de triedre mòbil. Vegeu també formalisme de Cartan

Definicions gairebé formals per fibrats vectorials[modifica]

Una connexió en un fibrat vectorials una manera de "distingir" seccions del fibrat al llarg de vectors tangent. Sigui ζ: E → → B un fibrat vectorial sobre una varietat diferenciable B amb un espai vectorial F de dimensió n com fibra. Denotem per ∇ _o v una secció d'un fibrat vectorial, el resultat de la diferenciació de la secció del fibrat vectorial v al llarg del camp vectorial tangent o . Per ser una connexió ∇ ha de satisfer les identitats següents:

(I) Linealitat

\nabla _{u}(v_{1}v_{2})=\nabla _{u}v_{1}\nabla _{u}v_{2}

i

\nabla _{U_{1}u_{2}}v=\nabla _{U_{1}}v\nabla _{u_{2}}v

(Ii) Regla de Leibniz

\nabla _{u}(fv)=df(o)vf\nabla _{u}v

i

\nabla _{fu}v=f\nabla _{o}v

per qualsevol funció diferenciable

f

l'exemple més simple: si l' ζ: E = F × B → B és la projecció, és a dir ζ és un fibrat vectorial trivial, llavors qualsevol secció es pot descriure per una funció diferenciable v: B → F . Per tant un pot considerar la connexió trivial ∇ _o v = ∂ v/∂ o . Si un té dues connexions ∇ i ∇ '' en el mateix fibrat vectorial llavors la diferència ω (u, v) = ∇ _o v-∇' _o v depèn només dels valors de o i v en un punt, una 1-forma en B a valors en el Hom (F, F), és a dir el ω (o, -) ∈ Hom (F, F) i ω es pot descriure com una matriu n × n d'un-formes. En particular un pot triar una trivialització local del fibrat vectorial i prendre ∇ ' com connexió trivial corresponent, llavors ω dóna una descripció local completa de ∇ .

Si G ∈ GL (F) és el grup estructural del fibrat vectorial llavors la forma ω és una 1-forma amb valors en ${\mathfrak {g}}$ , l'àlgebra de Lie de G . En particular per al fibrat tangent d'una varietat de Riemann tenim O ( n ) com a grup estructural i per la forma ω per a la connexió de Levi-Civitas una forma amb valors en ${\mathfrak {sobre}}$ ( n ), l'àlgebra de Lie de O ( n ) (que es pugui pensar com matrius antisimètriques en una base ortonormal, o 2-vectors del fibrat tangent). Així, ω , descriu ∇ d'una manera no invariant; depèn de l'elecció de la trivialització local. La construcció següent extreu la informació invariant de ω .

La 2-forma següent amb valors en Hom (F, F) es diu forma de curvatura Ω = dω ω ∧ ω ,

on d és la derivada exterior i ∧ és producte exterior (falca) (pot semblar una mica estrany aplicar el producte exterior a les formes amb valors en Hom (F, F) , però treballa de la mateixa manera). La forma de curvatura proporciona la descripció local completa de la connexió fins a una transformació de gauge.

Un cop més, si el G ∈ GL (F) és el grup d'estructura d'un fibrat vectorial llavors la forma Ω és una 2-forma amb valors en ${\mathfrak {g}}$ , l'àlgebra de Lie de G . Per al fibrat tangent d'una varietat diferenciable de Riemann tenim O ( n ) com el grup d'estructura i Ω és una 2-forma amb valors en ${\mathfrak {sobre}}$ ( n ) (que es pot pensar en com matrius antisimètriques en una base ortonormal). Aquesta forma Ω és una descripció equivalent del tensor de curvatura.

Aspectes de la teoria[modifica]

Va ser desenvolupada per Élie Cartan, com a part (i una manera de formular) la seva mètode del triedre mòbil. Treballa amb formes diferencials i per tant, són de caràcter computacional, però tenen altres dos aspectes importants, tots dos més geomètrics.

Una teoria general dels marcs[modifica]

El primer d'aquests mira primer a la teoria de fibrats principals (a la qual un pot cridar l'teoria general de marcs ). L'ideal d'una connexió en un fibrat principal per a un grup de Lie G és relativament fàcil de formular, perquè en la direcció vertical es pot veure que la dada requerida ve donat traslladant tots els vectors tangent de nou a l'element identitat (en l'àlgebra de Lie), i la definició de la connexió d'agregar simplement un component horitzontal , compatible amb això. Si G és un tipus de grup afí respecte a un altre grup de Lie H - saber que G és un producte semidirecte de H amb un grup de la translació vectorial T al qual H actua, un H -fibrat es pot fer un G -fibrat per la construcció d'un fibrat associat. Hi T -fibrat associat, també: un fibrat vectorial, en el qual H actua per automorfismes que esdevenen automorfismes interiors en G .

El primer tipus de definició en aquesta disposició és que una connexió de Cartan per H és un tipus específic de G -vostra xarxa primària.

Identificant el fibrat tangent[modifica]

El segon tipus de definició apunta directament al fibrat tangent T (M) de la varietat diferenciable M assumida com la base. Aquí la dada és cert tipus d'identificació del T (M) , com fibrat, com els vectors 'verticals' tangents al T -fibrat esmentat abans (on M està naturalment identificat com la secció nul). Es diu això el soldatge (l ' soldadura ): ara tenim T (M) dins d'un panorama més ric, expressat per les dades de transició H -valorats. Un punt important aquí, com amb la discussió anterior, és que no s'assumeix que H actua fidelment en T . Això permet immediatament que els fibrats espinoriales prenguin el seu lloc en la teoria, amb H un grup d'espín més bé que simplement un grup ortogonal.

Teoria general[modifica]

Cartan reformular la geometria diferencial (pseudo) riemanniana, però no solament per a aquestes varietats diferenciables (mètriques), sinó que va fer la teoria per a una varietat diferenciable arbitrària, inclòs els varietats diferenciables donades pels grups de Lie. Això estava en termes de marcs mòbils (repercussió mobile) com reformulació alternativa de la relativitat general.

La idea principal és desenvolupar les expressions per connexions i curvatura utilitzant marcs ortogonals.

El formalisme de Cartan és un acostament alternatiu a la derivada covariant i la curvatura, amb les formes diferencials i els marcs. Encara que és dependent del marc, està molt ben adaptada als còmputs. Pot també ser entès en termes de fibrats de bases i permet generalitzacions com fibrat d'espinores.

Vegeu també[modifica]