Usuari:Meldor/Prova2

Definició formal

Per a definir formalment un espai vectorial E sobre un cos K, es diu que:

Sigui K un cos (per exemple : el cos $\mathbb {R}$ dels nombres reals o el cos $\mathbb {C}$ dels nombres complexos). Un espai vectorial sobre el cos K és un conjunt E que amb les operacions de:

• suma vectorial, escrita v + w on $\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in E$
• producte per un escalar, escrit a ⋅ v on a ∈ K; v ∈ E

satisfà les següents propietats:

1. V amb la suma vectorial forma un grup abelià, és a dir, se satisfà que:
   1. v + w ∈ E.
   2. u + (v + w) = (u + v) + w, propietat associativa.
   3. $\exists \mathbf {0} \in E$ anomenat vector nul tal que v + 0 = 0 + v = v, $\forall \mathbf {v} \in E$, és a dir, és l'element neutre de la suma vectorial.
   4. $\forall \mathbf {v} \in E$, $\exists (-\mathbf {v} )\in E$ tal que v + (- v) = 0, és a dir, tot element té oposat (invers respecte de la suma).
   5. v + w = w + v, propietat commutativa.
2. V amb el producte per un escalar satisfà que:
   1. a ⋅ v ∈ E.
   2. a ⋅ (b ⋅ v) = (a ⋅ b) ⋅ v.
   3. Si 1 denota l'element neutre del producte en el cos K, llavors 1 ⋅ v = v.
   4. a ⋅ (v + w) = (a ⋅ v) + (a ⋅ w), propietat distributiva amb la suma de vectors.
   5. (a + b) ⋅ v = (a ⋅ v) + (b ⋅ v).

Els elements de E s'anomenen vectors. S'acostumen a representar en negreta (v), tal i com s'ha fet en aquest article, amb una fletxa a sobre (${\vec {v}}$) o subratllats ('v). Els elements de K s'anomenen escalars.

Aquests axiomes permeten plantejar la resta de vectors i la divisió d'un vector entre un escalar per mitjà de:

v − w = v + (−1·w),

v / a = (1 / a) · v.

Contràriament a la intuïció que prové de vectors en el cas de l'espai euclidià pla i o de dimensions superiors, en espais vectorials generals no hi ha, cap noció de proximitat, angles o distàncies. Per tractar aquest tipus de qüestions, cal introduir tipus particulars d'espais vectorials amb estructures addicionals.