Vés al contingut

Descomposició polar

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

En matemàtiques, i més concretament en àlgebra lineal i anàlisi funcional, la descomposició polar d'una matriu o d'un operador lineal és una factorització anàloga a la forma polar d'un nombre complex no-nul z com on r és el valor absolut de z (un nombre real positiu), i és el signe complex de z.

Descomposició polar de matrius

[modifica]

La descomposició polar d'una matriu quadrada complexa A és una descomposició de matrius de la forma

on U és una matriu unitària i P és una matriu hermítica semidefinida positiva. Intuïtivament, la descomposició polar factoritza A en una component que estira l'espai al llarg d'un conjunt d'eixos ortogonals, representada per P, i una rotació representada per U. La descomposició de la conjugada complexa de ve donada per .

Aquesta descomposició sempre existeix, i si A és invertible, llavors és única, amb P definida positiva. Notem que

proporciona la corresponent descomposició polar del determinant d'A, ja que i .

La matriu P sempre és única, encara que A sigui singular, i ve donada per

on A* denota la transposada conjugada d'A. Aquesta expressió està ben definida, perquè una matriu hermítica semidefinida positiva sempre té una única arrel quadrada semidefinida positiva. Si A és invertible, llavors la matriu U ve donada per

En termes de la descomposició en valors singulars d'A, A = W Σ V*, tenim

la qual cosa confirma que P definida positiva i U és unitària.

També podem descompondre A de la forma

Aquí, U és com hem definit abans, i P′ ve donada per

Aquesta forma es coneix com a descomposició polar per l'esquerra o descomposició polar inversa. La descomposició anterior també es coneix com a descomposició polar per la dreta.

La matriu A és normal si i només si P′ = P. Llavors UΣ = ΣU, i és possible diagonalitzar U mitjançant una matriu de semblança unitària S que commuta amb Σ, donant S U S* = Φ−1, on Φ és una matriu diagonal unitària de fases e. Si definim Q = V S*, podem reescriure la descomposició polar com

de tal manera que A admet també una descomposició espectral

amb valors propis complexos tals que ΛΛ* = Σ², i amb Q una matriu unitària de vectors propis complexos.

Operadors afitats sobre un espai de Hilbert

[modifica]

La descomposició polar d'un operador lineal afitat A entre espais de Hilbert complexos és una factorització canònica com a producte d'una isometria parcial i un operador no-negatiu.

La descomposició polar per matrius es generalitza de la següent manera: si A és un operador lineal afitat, llavors existeix una única factorització d'A com el producte A = UP, on U és una isometria parcial, P és un operador autoadjunt no-negatiu, i l'espai inicial d'U és la clausura de la imatge de P.

És necessari relaxar les hipòtesis sobre U, de tal manera que sigui una isometria parcial en comptes d'unitària, perquè si A és l'operador de decalatge sobre ²(ℕ), llavors |A| = {A*A}½ = I. De tal manera que si A = U |A|, U ha de ser A, que no és unitari.

L'existència d'una descomposició polar és una conseqüència del lema de Douglas:

Si A i B són operadors afitats en un espai de Hilbert H, i A*AB*B, aleshores existeix una contracció C tal que A = CB. Addicionalment, C és única si Ker(B* ) ⊂ Ker(C).


Lema de Douglas

Podem definir l'operador C com C(Bh) = Ah, per a tot h de H, estès per continuïtat a la clausura de Ran(B), i per zero en el complement ortogonal fins a arribar a tot H. Llavors el lema es compleix, ja que A*AB*B implica que Ker(A) ⊂ Ker(B).

En particular, si A*A = B*B, llavors C és una isometria parcial, que és única si Ker(B* ) ⊂ Ker(C). En general per un operador afitat arbitrari A,

on (A*A)½ és l'única arrel quadrada positiva d'A*A donada pel càlcul funcional habitual. Pel lema, tenim

per a alguna isometria parcial U, que és única si Ker(A* ) ⊂ Ker(U). Prenem P igual a (A*A)½, i obtenim així la descomposició polar A = UP. Notem que podem emprar un raonament anàleg per demostrar que A = P'U' , on P' és positiu i U' és una isometria parcial.

En el cas que H sigui de dimensió finita, hom pot estendre U a un operador unitari; això no és cert en general (vegeu l'exemple anterior). Alternativament, podem obtenir una descomposició polar a partir de la versió per operadors de la descomposició en valors singulars.

Per les propietats del càlcul funcional continu, |A| pertany a la C*-àlgebra generada per A. Un resultat similar (però més dèbil) és cert per la isometria parcial: U pertany a l'àlgebra de von Neumann generada per A. Si A és invertible, la part polar U també pertany a la C*-àlgebra.

Operadors no afitats

[modifica]

Si A és un operador no afitat tancat i definit densament entre espais de Hilbert complexos, també tenim una (única) descomposició polar

on |A| és un operador autoadjunt no-negatiu (possiblement no afitat) amb el mateix domini que A, i U és una isometria parcial que s'anul·la en el complement ortogonal de la imatge Ran(|A|).

La demostració fa ús del mateix lema que en el cas anterior, que és vàlid per operadors no afitats en general. Si Dom(A*A) = Dom(B*B) i A*Ah = B*Bh per qualsevol hDom(A*A), llavors existeix una isometria parcial U tal que A = UB. Aquesta U és única si Ran(B)Ker(U). El fet que l'operador A sigui tancat i densament definit ens assegura que l'operador A*A és autoadjunt (amb domini dens), i per tant ens permet definir (A*A)½. Aplicant el lema obtenim la descomposició polar.

Descomposició polar de quaternions

[modifica]

La descomposició polar de quaternions ℍ depèn de l'esfera de les arrels quadrades de -1. Donats un r qualsevol en aquesta esfera, i un angle –π < a ≤ π, el versor[nota 1] pertany a la 3-esfera d'ℍ. Per a = 0 i a = π, el versor és 1 o −1 independentment de l'elecció de r. La norma t d'un quaternió q és la distància euclidiana des de l'origen fins a q. Quan un quaternió té part vectorial (és a dir, no és un nombre real pur), llavors existeix una descomposició polar única

Altres descomposicions planars

[modifica]

En el pla cartesià, existeixen altres descomposicions planars per anells:

  • Si x ≠ 0, llavors z = x (1 + (y/x) ε) és una descomposició polar d'un nombre dual z = x + y ε, on ε² = 0 (és a dir, ε és nilpotent). En aquesta descomposició polar, es reemplaça la circumferència unitat per la recta x = 1, l'angle polar pel pendent y/x, i el radi x és negatiu en el semiplà esquerre.
  • Si x² ≠ y², llavors la hipèrbola unitària x² − y² = 1 i la seva conjugada x² − y² = −1 determinen una descomposició polar basada en la branca de la hipèrbola unitària a través del punt (1,0). Si parametritzem aquesta branca per l'angle hiperbòlic a, podem escriure
on j² = +1 i hom utilitza l'aritmètica[1] dels nombres complexos hiperbòlics. La branca que passa pel punt (−1,0) està recorreguda per −ea j. Com que la multiplicació per j realitza una reflexió per la recta y = x, la segona hipèrbola té branques parametrizades per jea j o −jea j. Per tant, un punt que pertanyi a un dels quadrants té una descomposició polar en una de les formes:
El conjunt { 1, −1, j, −j } té un producte que el fa isomorf al grup de Klein.

Càlcul numèric de la descomposició polar d'una matriu

[modifica]

Per calcular una aproximació de la descomposició polar A=UP, hom acostuma a aproximar el factor unitari U. [2][3] La iteració es basa en el mètode d'Heró pel càlcul de l'arrel quadrada i calcula, començant des de , la successió

, k=0,1,2,...

Hom escull la inversió i la conjugació hermítica de tal manera que, en la descomposició en valors singulars, els factors unitaris romanguin iguals, i llavors la iteració es redueix al mètode d'Heró sobre els valors singulars.

Es pot refinar aquesta iteració bàsica per accelerar el procés:

  • En cada pas, o en intervals regulars, estimem l'amplitud del conjunt de valors singulars de , i reescalem la matriu per obtenir amb els valors singulars centrats al voltant d'1. Calculem el factor d'escalat tot usant les normes matricials de la matriu i de la seva inversa. Alguns exemples d'aquestes estimacions són:
que fa ús de les normes matricials induïdes per la suma per files i per columnes, o bé
que fa ús de la norma de Frobenius. Si incloem aquests factors d'escalat, la iteració queda com segueix:
, k=0,1,2,...
  • Es pot fer servir la descomposició QR com un pas preparatori, per tal de reduir una matriu singular A a una matriu regular més petita, i també en cada pas per accelerar el càlcul de la inversa.
  • En comptes del mètode d'Heró per calcular les arrels de , es poden fer servir altres mètodes d'ordre superior, com els basats en el mètode de Halley de tercer ordre, la qual cosa resulta en:
, k=0,1,2,...
Novament, es pot combinar aquesta iteració amb un reescalat. Aquesta fórmula en particular té l'avantatge de què es pot aplicar també a matrius A singulars o rectangulars.

Notes

[modifica]
  1. versor: quaternió de norma 1

Referències

[modifica]
  1. Sobczyk, Dr.Garret. «The Hyperbolic Number Plane». [Consulta: 9 agost 2013].
  2. Higham, Nicholas J. «Computing the Polar Decomposition—with Applications». SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. Society for Industrial and Applied Mathematics [Philadelphia, PA, EUA], 7, 4, 01-10-1986, pàg. 1160–1174. DOI: 10.1137/0907079. ISSN: 0196-5204.
  3. Byers, Ralph; Xu, Hongguo «A New Scaling for Newton's Iteration for the Polar Decomposition and its Backward Stability». SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. Society for Industrial and Applied Mathematics [Philadelphia, PA, EUA], 30, 2, 01-01-2008, pàg. 822–843. DOI: 10.1137/070699895. ISSN: 0895-4798.

Bibliografia

[modifica]