Potència (física)

Per a altres significats, vegeu «potència».

Potència

Símbol	P
Unitats	watt
Fórmula	$P={\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}$

En física la potència és la quantitat de treball efectuat per una màquina per unitat de temps. En el Sistema Internacional d'Unitats (SI) la unitat és el watt; se sol representar amb la lletra $P$. Matemàticament, es defineix com la derivada temporal del treball $W$ (quantitat d'energia que canvia de sistema físic):

$$P={\frac {dW}{dt}}$$

Es pot relacionar amb la força que fa el treball considerant que el treball és el producte escalar de la força pel desplaçament (${\textstyle W={\vec {F}}\bullet d{\vec {r}}}$), i que la variació del desplaçament amb el temps és la velocitat (${\textstyle d{\vec {r}}/dt={\vec {v}}}$) mitjançant les relacions:

$$P={\vec {F}}\bullet {\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\vec {F}}\bullet {\vec {v}}$$

Des del punt de vista de l'enginyeria, el concepte de potència és molt important, ja que quan es dissenya una màquina, és la rapidesa amb la qual pot dur a terme el treball que cal, més que la quantitat total de treball que pot fer la màquina.

Història

James Watt.

James Watt (1736–1819) fou un inventor, enginyer, empresari i científic d'ascendència escocesa i anglesa, cèlebre per haver perfeccionat la màquina de vapor, giny que esdevingué el motor de la revolució industrial a l'Anglaterra del segle xix. La unitat de potència del Sistema Internacional d'Unitats (SI) fou batejada en honor seu, atès que fou ell qui, en essència, formulà el concepte de potència com a magnitud mesurable. En paral·lel a aquesta noció, instituí el cavall de vapor ($hp$ de l'anglès horse power), unitat que equival aproximadament al ritme de treball que exercien els cavalls de càrrega en moldre gra a l'Anglaterra de l'època, xifra que se situa al voltant dels 746 watts.

Malgrat que hom considera generalment l'enginyer anglès Thomas Newcomen (1664–1729) com l'inventor de la màquina de vapor vers l'any 1698, el disseny perfeccionat per Watt —patentat el 1769— s'erigí en l'estàndard industrial que impulsà la revolució industrial a la Gran Bretanya i arreu del món. Una de les primeres màquines comercials construïdes per Watt fou destinada a una mina de coure a Cornualla, regió on el carbó resultava onerós. Watt supervisà personalment l'edificació d'aquestes màquines de vapor concebudes ex professo per a les mines, i n'exigí uns drets de llicència equivalents a una fracció de l'estalvi econòmic obtingut gràcies a la transició cap al seu disseny millorat.

Les màquines de Newcomen i de Watt constitueixen exemples de motors alternatius, tal com ho són la majoria de motors que propulsen els vehicles actuals. El vapor s'injecta en un cilindre vertical, tot empenyent un pistó cap amunt; posteriorment, el vapor es condensa i la pressió atmosfèrica fa davallar el pistó. En un motor de múltiples cilindres, el moviment ascendent d'un pistó és correspost pel moviment descendent de l'altre, establint-se una acció recíproca. Originalment, els pistons de Watt anaven units a un balancí, dispositiu òptim per a l'accionament d'una bomba elevadora. Es tracta del clàssic mecanisme de bombeig manual, imatge icònica que pertany a l'imaginari col·lectiu. Addicions mecàniques posteriors permeteren a Watt transformar el moviment alternatiu del balancí en el moviment rotatori d'un eix, fet que obrí la màquina de vapor a noves i diverses aplicacions.

Molí de sang.

L'adversari més formidable de la màquina de vapor en el moment de la seva invenció era el cavall. Una de les modalitats més enginyoses d'aprofitar la força equina era el molí de sang: un giny de grans dimensions compost per radis i un eix, similar a una roda de carro desproveïda de llanta, disposada per a girar horitzontalment. Els cavalls eren junyits als extrems dels radis i compel·lits a caminar en cercles al voltant de l'arbre de transmissió central durant hores. L'equivalent de tracció humana d'aquests molins rep el nom de treadmill o roda de trepitjar. Aquests mecanismes del segle xviii eren màquines preindustrials destinades al treball, entès no com l'abstracció matemàtica de força per desplaçament, sinó com una labor extenuant i penosa.

Per tal que Watt pogués fixar els honoraris de les seves màquines de vapor «rotatives», li calia establir una equivalència econòmica: un patró de comparació. El cavall n'era l'elecció natural, però, quina és la mesura del treball d'un cavall? En realitat, el «treball» no era el concepte precís. Si bé un cavall pot dur a terme una tasca determinada, dos cavalls la completaran en la meitat de temps. El fet realment rellevant no és la quantitat total de treball, sinó el ritme al qual s'executa.

Watt identificà la cerveseria Whitbread de Londres com un client potencial. S'estima que les grans cerveseries londinenques d'aquella època empraven una mitjana de vint cavalls per al molí de manera simultània. A la Whitbread, els animals eren lligats de sis en sis i obligats a recórrer un cercle de 24 peus de diàmetre 144 vegades per hora, molent el malteig d'ordi amb una força de 180 lliures. A partir d'aquestes dades calculà la potència d'un cavall com el producte de força per velocitat:

$$P=Fv$$

I la velocitat es pot calcular com a distància recorreguda dividida pel temps emprat:

$$P=F{\frac {\Delta s}{\Delta t}}=F\left({\frac {n\cdot 2\pi r}{t}}\right)=(180{\text{ lb}}){\frac {144\times 2\pi \times 12{\text{ ft}}}{60{\text{ min}}}}=32\,572,03\dots {\text{ ft lb/min}}$$

Aquest nombre irracional fou arrodonit a dues xifres significatives per conveniència pràctica, de manera que, per definició: 1 cavall de vapor ($hp$) = 33 000 peus-lliura per minut, o, de forma equivalent (atès que un minut consta de 60 segons): 1 cavall de vapor ($hp$) = 550 peus-lliura per segon.

James Watt mai no va publicar aquesta definició personalment. El 1805 Jonathan Carter Hornblower (1753–1815), enginyer competidor de Watt, publicà una carta al Nicholson's Journal criticant els diferents càlculs de la potència d'un cavall.

Potència mitjana

Especificacions d'un forn de microones on s'especifica KW : 1.0, que significa que té una potència d'1,0 kW. Consumirà 1 000 J cada segon que funcioni.

La potència mitjana és el quocient entre el treball fet i l'interval de temps finit durant el qual s'ha realitzat aquest treball. Es pot representar per la següent equació:

$$P_{m}={\overline {P}}={\frac {W}{\Delta t}}$$

On:

• $P_{m},\,{\overline {P}}$ = la potència mitjana
• $W$ = el treball realitzat
• $\Delta t$ = l'interval de temps finit

Potència instantània

Etiqueta energètica d'un televisor on s'especifica que té 31 W de potència. Això significa que consumeix 31 J cada segon quan està en funcionament.

La potència pot ser que variï en cada instant de temps, perquè el treball no es faci de manera uniforme. Llavors definim la potència instantània com el quocient entre el treball desenvolupat en un instant de temps molt petit (que s'apropi a 0) i aquest interval de temps.

En l'equació s'ha de calcular el límit de la potència mitjana quan l'interval de temps tendeix a 0.

$$P=\lim _{\Delta t\to 0}({\frac {W}{\Delta t}})={\frac {W}{dt}}$$

On:

• $P$ = potència instantània
• $W$ = treball desenvolupat en un instant de temps
• $\Delta t$ = interval de temps

Aquesta fórmula també es pot expressar en termes de la força i la velocitat a partir de la definició de treball com el producte escalar de la força pel desplaçament:

$$P={\frac {dW}{dt}}={\frac {d({\vec {F}}\bullet d{\vec {r}})}{dt}}={\vec {F}}\bullet {\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\vec {F}}\bullet {\vec {v}}$$

On:

• $P$ = potència instantània (W)
• ${\vec {F}}$ = força (N)
• $d{\vec {r}}$ = element diferencial de desplaçament
• ${\vec {v}}$ = velocitat (m/s)

Potència i moment d'una força

Aquest cotxe, Hyundai Tucson 20211.6 T-GDI, té una potència de 150 CV o 110 kW. La potència s'obté a partir del producte del parell motor i la velocitat de gir del motor. Segons el fabricant a 4 200 rpm (440 rad/s) ofereix un moment de 250 N·m. La potència s'obté multiplicant: $P=\tau \omega =250\,N\!\cdot \!m\,\cdot \,440\,rad/s=110\,kW$

Quan hom fa girar un objecte es fa un treball sobre ell, incrementant la seva energia cinètica. Si una força ${\vec {F}}$ actua sobre un objecte en rotació el treball es pot relacionar amb el moment d'aquesta força. Si l'objecte gira un angle $d\theta$, el punt d'aplicació de la força recorr una distància $ds_{i}=r_{i}d\theta$, i la força fa un treball:

$$dW=F_{\mathrm {t} }ds=F_{\mathrm {t} }rd\theta =\tau d\theta$$

on:

• $r$ és la distància que separa el centre de rotació del punt d'aplicació de la força ${\vec {F}}$
• $\tau$ és el moment de la força ${\vec {F}}$ i
• $F_{\mathrm {t} }$ és la component tangencial d'${\vec {F}}$.

La potència ara es pot calcular i relacionar amb el moment i la velocitat angular $\omega$:

$$P={\frac {dW}{dt}}=\tau {\frac {d\theta }{dt}}=\tau \omega$$

Per tant, la potència d'un cos en rotació es pot calcular multiplicant el moment per la velocitat angular.

Rendiment

El treball realitzat per unitat de temps que desenvolupa un aparell s'anomena potència consumida. Però, com en funcionar un aparell hi ha un cert fregament entre les parts mòbils i les fixes, això fa que el treball motor fet per unitat de temps sigui menor que la potència consumida. La potència útil és aquella que queda de la consumida, un cop se n'ha perdut una part a causa del fregament.

El rendiment d'un parell és la relació entre la potència útil i la potència consumida. El rendiment no té unitat i es pot deixar en el número resultant o en %.

$$\eta ={\frac {P_{u}}{P_{c}}}$$

On:

• $\eta$ = el rendiment d'un parell
• $P_{u}$ = la potència útil
• $P_{c}$ = la potència consumida

Unitats de mesura

Sistema Internacional

• watt (W)

$$1W={\frac {1J}{1s}}={\frac {1N\cdot 1m}{1s}}={\frac {1kg\cdot 1m/s^{2}\cdot 1m}{1s}}=1{\frac {kg\cdot m^{2}}{s^{3}}}$$

Un watt és equivalent a 1 joule per una unitat de segon.

L'Airbus A380 duu quatre motors Trent 900 de Rolls-Royce que tenen una potència de 63 000 CV cadascun o 46,4 MW.

Unitats mecàniques

• Cavall anglès o cavall de potència (hp): Unitat anglesa de potència equivalent a 550 peus per lliura de força partit per segon o a 745,7 watts.
• Cavall de vapor (CV): Unitat de potència del sistema mètric equivalent a 75 kilogràmetres per segon o, aproximadament, a 735,75 watts. Un kilogràmetre o kilopondímetre és l'energia necessària per elevar 1 kg una alçada d'1 m, per tant, una energia potencial de ${\textstyle E=mgh=1N\cdot 9,81m/s^{2}\cdot 1m=9,81J}$. Un CV, per tant, equivaldrà a ${\textstyle 1\,CV=75\cdot 9,81=735,75\,W}$.
• Calories per segon (cal/s): Una caloria per segon equival a 4,184 W, ja que una caloria equival a 4,184 J.

Unitats elèctriques

• voltampere (VA) per a la potència aparent
• watt (W) per a la potència activa
• voltampere reactiu (VAr) per a la potència reactiva

Potència elèctrica

A l'estat espanyol el 2015 hi havia en funcionament centrals fotovoltaiques que podien proporcionar energia elèctrica amb una potència de 5 540 MW o 5,54 × 10⁹ W.

La potència elèctrica P desenvolupada en un cert instant per un dispositiu ve donada per l'expressió:

$$P(t)=I(t)V(t)\,$$

• P(t) és la potència instantània, es mesura en watts (joules/segon).
• I(t) és el corrent elèctric que circula per ell, es mesura en amperes.
• V(t) és la diferència de potencial (caiguda de voltatge) a través del component, es mesura amb volts.

Si el component és una resistència, tenim:

Aquests altaveus de cotxe poden produir fins a 30 W de potència sonora cadascun en un moment puntual i, en funcionament continu, 15 W.

$$P=I^{2}R={\frac {V^{2}}{R}}$$

• R és la resistència, es mesura en ohms.

Potència sonora

La potència sonora es considera que és la quantitat d'energia que transporta l'ona sonora per unitat de temps a través d'una superfície donada. Depenent de la superfície i de la intensitat de l'ona ve donada, en cas general, per la funció de la integral de la multiplicació de la intensitat sonora, en W/m², per la superfície, en m², sobre la qual es desplaça l'ona.