Usuari:Mcapdevila/Oscil·lador harmònic

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

un oscil·lador harmònic és, en un sistema mecànic, elèctric, pneumàtic, quan es deixa en llibertat, fora de la seva posició de equilibri, torna cap a ella descrivint oscil·lacions sinusoïdals, o sinusoïdals amortides entorn d'aquesta posició estable. L'exemple és el d'una massa penjada a un ressort. Quan s'allunya la massa de la seva posició de repòs, el ressort exerceix sobre la massa una força que és proporcional al desequilibri (distància a la posició de repòs) i que està dirigida cap a la posició d'equilibri. Si es deixa anar la massa, la força del ressort accelera la massa cap a la posició d'equilibri. A mesura que la massa s'apropa a la posició d'equilibri i que augmenta la seva velocitat, l'energia potencial elàstica del ressort es transforma en energia cinètica de la massa. Quan la massa arriba a la seva posició d'equilibri, la força serà zero, però com la massa està en moviment, continuarà i passarà de l'altre costat. La força s'inverteix i comença a frenar la massa. L'energia cinètica de la massa va transformant ara en energia potencial del ressort fins que la massa s'atura. Llavors aquest procés torna a produir-se en direcció oposada completant una oscil·lació.

La massa penjada del ressort forma un oscil·lador harmònic.

Si tota l'energia cinètica es transformés en energia potencial i viceversa, l'oscil·lació seguiria eternament amb la mateixa amplitud. En la realitat, sempre hi ha una part de l'energia que es transforma en una altra forma, a causa de la viscositat de l'aire o perquè el ressort no és perfectament elàstic. Així doncs, l'amplitud del moviment disminuirà més o menys lentament amb el pas del temps. Es començarà tractant el cas ideal, en el qual no hi ha pèrdues. S'analitzarà el cas unidimensional d'un únic oscil·lador (per a la situació amb diversos oscil·ladors, vegeu moviment harmònic complex).

Casos[modifica]

Oscil·lador harmònic sense pèrdues[modifica]

Article principal: Moviment harmònic simple

Es denominarà a la massa i a la distància entre la posició de la massa i la posició d'equilibri. Es suposarà que la força del ressort és estrictament proporcional al desequilibri: (llei de Hooke). és la força i l'constant elàstica del ressort. El signe negatiu indica que quan és positiva la força està dirigida cap a les negatives.

La segona llei de Newton postula:

reemplaçant la força obtenim:

La solució d'aquesta equació diferencial ordinària és immediata: les úniques funcions reals (no complexes) la segona derivada és la mateixa funció amb el signe invertit són si i cosinus . Les dues funcions corresponen al mateix moviment. Escollim arbitràriament "cosinus". La solució s'escriu:

La corba de dalt dóna la posició del oscil·lador en funció del temps. La del mitjà dóna la velocitat. A sota hi ha les corbes de les energies. En blau està l'energia cinètica i en vermell l'energia potencial del ressort
  • és l'amplitud, que depèn de les condicions inicials.
  • és la pulsació (o freqüència angular) i la freqüència.
  • és el temps.
  • és la fase inicial (per ).

És fàcil comprovar que el valor de és:

El període d'oscil·lació és:

Com ja hem dit, durant un quart d'una oscil·lació l'energia potencial es transforma en energia cinètica. Durant una altra cambra, l'energia cinètica es transforma en energia potencial. A la figura de la dreta s'ha traçat la posició en funció del temps (corba de dalt), la velocitat en funció del temps (al mig) i les energies potencials i cinètiques (a baix).

Oscil·lador harmònic esmorteït[modifica]

Article principal: Oscil·lació amortida
Oscil·lador harmònic amb amortidor. La força viscosa és proporcional a la velocitat.

Afegint pèrdues d'energia, s'aconsegueix modelar una situació més propera a la realitat. Així, cal notar que l'oscil·lació descrita en l'apartat anterior es perllongaria indefinidament en el temps (la sinusoide que descriu la posició no convergeix a zero en cap moment). Una situació més versemblant es correspon amb la presència d'una força addicional que frena el moviment. Aquesta força pot ser constant (però sempre amb signe tal que freni el moviment). És el cas de fregaments secs: la força no depèn ni de la velocitat ni de la posició. Una altra situació que es produeix en la realitat és que la força sigui proporcional a la velocitat elevada a una potència, sencera o no. Així succeeix quan la força que frena prové de la viscositat o de les pèrdues aerodinàmica s. Es tractarà únicament el cas més simple, és a dir, quan la força sigui proporcional a la velocitat. En aquest cas la força serà:

On és un coeficient que mesura l'amortiment a causa de la viscositat. Si és petit, el sistema està poc esmorteït. Noteu el signe negatiu que indica, com abans, que si la velocitat és positiva, la força té la direcció oposada a la velocitat. Amb aquest terme complementari l'equació diferencial del sistema és:

Es tracta d'una equació diferencial ordinària, lineal, de segon ordre [1] (conté derivades segones) i homogènia (no hi ha terme independent de ). Té tres tipus de solucions segons el valor de :

  • Si el sistema està sobreamortides (amortiment fort o supercrític)
  • Si el sistema té amortiment crític.
  • Si el sistema oscil·la amb amplitud decreixent (amortiment feble o subcrític)

Oscil·lador sobreamortides[modifica]

Posició en funció del temps d'un oscil·lador harmònic esmorteït.
Corba blava: amortiment crític.
Corba vermella: amortiment doble que el crític.
Corba verd: amortiment igual a 90% de l'amortiment crític.

En aquest cas el sistema no és realment un oscil·lador, ja que no oscil·la. La solució és de la forma:

on els coeficients de les exponencials són menors que zero i reals (pel que no hi ha oscil·lació):

i

i depenen de les condicions inicials (és a dir, de la situació del sistema per ). La posició no és oscil·lant i tendeix cap a la posició d'equilibri de manera asimptòtica. Les dues exponencials decreixents de les solucions tenen constants de temps diferents. Una és petita i correspon a la ràpida cancel·lació de l'efecte de la velocitat inicial. La segona és més gran i descriu la lenta tendència cap a la posició d'equilibri.

Oscil·lador amb esmorteïment crític[modifica]

Aquest cas és el límit entre un sistema oscil·lant i un no oscil·lant. Ocorre quan

La solució única és:

com abans, i són constants que depenen de les condicions inicials.

L'amortiment crític correspon a la tendència més ràpida cap a la situació d'equilibri quan no sobrepassa aquesta posició. Si es disminueix una mica l'amortiment el sistema s'apropa més ràpidament a la posició d'equilibri, però sobrepassant la posició oscil·la entorn a aquest punt (prenent valors positius i negatius).

Oscil·lador amb esmorteïment feble[modifica]

Oscil·lacions esmorteïdes. L'amplitud de la sinusoide està controlada per l'exponencial.

En aquest cas, que és més interessant, tenim un oscil·lador que oscil·la al voltant de la posició d'equilibri amb amplitud decreixent. Succeeix quan:

La solució és:

com abans, i són constants que depenen de les condicions inicials. La pulsació és:

La pulsació del sistema esmorteït és una mica menor que la pulsació del sistema no esmorteït perquè la força que ho esmorteeix, frena la massa i la retarda.

L'oscil·lació del sistema està descrita per una sinusoide de freqüència l'amplitud està multiplicada per una exponencial decreixent la constant de temps és .

Factor de qualitat Q[modifica]

En un sistema poc esmorteït és interessant de definir el factor de qualitat ( Q uality factor en anglès) o simplement Q com:

aquesta quantitat és igual a vegades l'invers de les pèrdues relatives d'energia per període. Així, un sistema que perd 1% d'energia a cada cicle, tindrà un Q de 628. Més interessant, Q és també vegades el nombre d'oscil·lacions que el sistema fa mentre la seva amplitud es divideix per un factor . Si es pot acceptar una aproximació més grollera, Q és 3 vegades el nombre d'oscil·lacions que un sistema fa mentre la seva amplitud cau a 1/3 de l'amplitud inicial.

Com a exemples, el Q d'un vehicle amb els amortidors en bon estat és una mica més gran que 1. El Q d'una corda de guitarra és de diversos milers. El Q dels cristalls de quars utilitzats en electrònica com a referència de freqüència és l'ordre d'1 milió. Una copa de vidre ordinari té un Q molt més petit que una copa de vidre de plom (vidre).

Oscil·lacions forçades[modifica]

Podem posar en moviment un oscil·lador harmònic traient-lo de la seva posició d'equilibri i abandonant a la seva oscil·lació lliure (veure paràgrafs precedents). També es pot posar en moviment aplicant-li una força variable amb el temps. Es tractarà només el cas en el qual la força varia de manera sinusoïdal amb el temps seg.

En aquesta situació, l'equació diferencial lineal és inhomogénea. La solució a aquest tipus d'equació està formada per dos termes: la solució general del sistema homogeni més una solució particular del cas homogeni. [2] Per tant, la solució està formada per dues parts , una part transitòria (que s'anul·la passat cert temps), similar a les que vam veure en els paràgrafs precedents, més una part estacionària. La solució de la part transitòria és la mateixa la que ja hem vist (equació homogènia). Les úniques diferències són les condicions inicials i finals, que no són idèntiques. Anem a interessar a la solució estacionària. En l'equació diferencial del sistema cal afegir la força sinusoïdal:

Per resoldre aquesta equació és més interessant utilitzar el mateix mètode que en electricitat i electrònica. Per a això, s'afegeix a la força real una força imaginària . Com en electrònica, s'utilitza en lloc de i . Ara l'equació a resoldre és:

Però és clar, com en electricitat, només la part real de i serà d'interès. La solució és immediata:

Si es deriva aquesta expressió i se substitueix en l'equació diferencial, es troba el valor de A:

Però A pot escriure com i la solució de complexa és:

El valor de real és la part real de l'expressió precedent:

on és el mòdul de i la seva argument:

Com en electricitat, l'angle dóna el desfasament del moviment pel que fa a la força externa. Si és positiu, el moviment està en avanç de fase i si és negatiu el moviment està en retard de fase. En aquest cas el desfasament serà sempre negatiu.

Resposta en freqüència[modifica]

L'amplitud de les oscil·lacions forçades dependrà, per descomptat, de l'amplitud de la força externa. Però per a una mateixa amplitud de la força, l'amplitud de l'oscil · dependrà també de la freqüència. Vegem com varia l'amplitud amb . Utilitzant la definició de freqüència pròpia del sistema (sense esmorteïment ni força externa):

Resposta en freqüència d'un oscil·lador harmònic. A la freqüència de ressonància, l'amplitud és Q vegades més gran que a molt baixa freqüència.

es pot escriure:

Si a més s'utilitza la definició de , s'obté:

En el dibuix de dreta s'ha representat l'amplitud de l'oscil · forçada en funció de la freqüència per a diversos valors del factor de qualitat Q. A molt baixa freqüència l'amplitud és la mateixa que si la força és estàtica , i el sistema oscil·larà entre les posicions i . Quan la freqüència augmenta, l'amplitud també, aconseguint un màxim quan la freqüència d'excitació és igual a la freqüència pròpia del sistema. A aquesta freqüència pròpia també se l'anomena freqüència de ressonància . També es diu que un sistema excitat a una freqüència pròxima a la freqüència de ressonància "ressona" o "entra en ressonància". A la freqüència de ressonància, l'amplitud de les oscil·lacions serà Q vegades més gran que la que s'obté en baixa freqüència.

L'amplada del pic de ressonància a mitja alçada, és a dir quan l'amplitud és igual a la meitat del màxim, és igual a la freqüència de ressonància dividida per Q . Aquest ample també es diu banda passant .

Oscil·lador forçat i caos[modifica]

L'oscil·lador harmònic no pertorbat en una dimensió és un exemple de sistema integrable, amb comportament regular. No obstant això, l'oscil·lador harmònic pertorbat pot presentar un comportament caòtic [3] caracteritzat per un atractor estrany. Per exemple en el cas d'una pertorbació de tipus l'equació de moviment és:

Aquest sistema és no integrable i el moviment tendeix ràpidament cap a l'anomenat atractor de Duffing. [4]

Oscil·lador de van der Pol[modifica]

Comportament caòtic en l'oscil·lador de van der Pol amb excitació sinusoïdal. μ = 8.53, mentre que l'excitació externa té amplitud A = 1.2 i freqüència angular ω = 2π/10.

El oscil·lador de van der Pol és un cas especial de oscil·lador amb esmorteïment no lineal, que respon a l'equació:

Va ser descrit per primera vegada el 1935 per Balthasar van der Pol [5] i presenta comportament caòtic.

Importància en Física[modifica]

Considerem el cas d'un cos sotmès a una força unidimensional: . Desenvolupant aquesta força en sèrie de Taylor al voltant del punt d'equilibri ():

Com l'origen és el punt d'equilibri, el primer terme del desenvolupament és nul. Si les oscil·lacions al voltant de són prou petites, un es pot quedar amb l'aproximació lineal i menysprear els termes d'ordre superior:

Dient-li a la derivada de la força, s'obté de nou la força recuperadora de Hooke. Aquí rau la importància del oscil·lador harmònic: suposa una primera aproximació per a l'estudi d'un sistema quan es produeixen petites oscil·lacions entorn de la seva posició (o estat) d'equilibri. [6]

Exemples[modifica]

Circuit LC[modifica]

Circuit LC sense pèrdues[modifica]

Circuit LC sense pèrdues.

A la figura de la dreta s'ha dibuixat un circuit oscil·lant LC ideal, és a dir sense pèrdues.

Suposem que, en la situació inicial, el condensador està carregat a una tensió V i que en aquest moment es connecta la inductància. La tensió present en les extremitats de la inductància farà aparèixer una corrent de sentit invers a la de la fletxa del dibuix, que augmentarà amb el temps. A mesura que el condensador subministra corrent a la inductància, es descarrega i la tensió disminueix. La disminució de la tensió fa que el corrent augmenti menys ràpidament. La situació continua així, amb la tensió del condensador que disminueix cada vegada més ràpidament (perquè el corrent augmenta) i el corrent que augmenta més lentament (perquè la tensió disminueix). Arriba un moment en el qual el condensador està completament descarregat i el corrent ha arribat a un màxim. Ara el corrent continua circulant perquè la inductància l'hi imposa. El condensador comença a carregar-se en l'altre sentit i fa aparèixer una tensió en els borns de la inductància que fa disminuir el corrent. La situació continua de la manera: el condensador es va carregant cada vegada més lentament (perquè el corrent disminueix), mentre que el corrent va disminuint cada vegada més ràpidament (perquè la tensió inversa augmenta). Així, s'arriba a la situació en la qual el corrent s'anul·la i la tensió del condensador és màxima i del mateix valor que la tensió inicial, però amb sentit oposat. La situació és anàloga a la d'una massa sostinguda per un ressort. La inductància juga el paper de la massa. La massa té inèrcia i impedeix que el moviment canviï bruscament. La inductància impedeix que el corrent canviï bruscament. Vegem les equacions.

El comportament elèctric del condensador està descrit per l'equació: . El de la inductància està descrit per . Com en l'esquema és positiu quan surt del costat positiu de la inductància, cal afegir un signe negatiu: . Es té, doncs, aquest sistema d'equacions diferencials:

Per eliminar , només cal derivar la primera equació, per reemplaçar la derivada d'I en la segona:

que es pot escriure com:

Aquesta equació és la mateixa que la de la massa amb un ressort. és equivalent a la posició . és equivalent a la massa i és equivalent a la constant del ressort .

La solució és:

amb

Com de costum, i depenen de les condicions inicials.

Circuit LC amb pèrdues[modifica]

Circuit LC amb pèrdues. La resistència dóna compte de totes les perdudes possibles.

L'esquema de la dreta representa un circuit oscil·lant LC amb pèrdues . Les pèrdues estan representades per les pèrdues en una resistència. En un circuit real, les pèrdues provenen de resistències en sèrie com la dibuixada. Aquestes resistències poden estar en l'exterior de la inductància o del condensador, però també poden ser resistències internes d'aquests components. També pot haver resistències en paral·lel, perdudes en el dielèctric del condensador o en el nucli de la bobina (si és ferromagnètic). També pot haver pèrdues per radiació de ones electromagnètiques. La resistència farà que la tensió sobre la bobina sigui diferent de la tensió sobre el condensador. El corrent creada serà menor que si no hi hagués hagut pèrdues i quan el corrent carregui de nou el condensador, la tensió a la qual arribarà serà menor. Per la seva banda, l'amplitud disminuirà i tendirà cap a zero. L'equació del nou sistema és:

L'equació és la mateixa que la d'una massa amb un ressort i amb un amortidor. Aquesta vegada és l'equivalent del coeficient de fregament . La solució és:

amb

i

on és la freqüència pròpia del circuit (sense pèrdues).

Oscil·lacions forçades d'un circuit LC amb pèrdues[modifica]

Circuit LRC atacat per un generador sinusoïdal.

L'esquema de la dreta mostra un generador connectat a un circuit LC en sèrie. Si la tensió del generador és , l'equació és:

L'expressió es pot reescriure, donant-li un aspecte similar a les formes precedents:

Com en l'exemple mecànic, en règim estacionari la solució és:

on

i

i són els mateixos que en el paràgraf precedent. L'amplitud de la tensió de sortida és màxima a la ressonància (quan ) i val vegades la tensió d'entrada.

Oscil·lador harmònic quàntic[modifica]

Funcions d'ona per als primers sis autoestable, n = 0 a 5. L'eix horitzontal mostra la posició y en unitats (h/2πmω) 1/2 . Les gràfiques estan sense normalitzar.
Densitats de probabilitat dels primers autoestable (dimensió vertical, amb els de menor energia en la part inferior) per a les diferents localitzacions espacials (dimensió horitzontal).

Com ja s'ha comentat, l'oscil·lador harmònic es pot emprar per estudiar sistemes que realitzin petites oscil·lacions al voltant d'una posició d'equilibri. En particular, el oscil·lador harmònic quàntic es pot emprar per estudiar les oscil·lacions dels àtoms d'una molècula diatòmica, com la de hidrogen, H 2 , o la d'clorur d'hidrogen, HCl. [7]

L'oscil·lador harmònic és un dels casos en què es pot obtenir una solució analítica senzilla de la equació de Schrödinger. En aquesta situació, el hamiltonià de la partícula considerada estarà descrit per:

Noteu que per al cas de molècules diatòmiques, la massa seria, en realitat, la massa reduïda del sistema. Es veu clarament que el primer sumant és un terme cinètic, mentre que el segon és l'harmònic. Com l'hamiltonià no depèn del temps, només resta resoldre l'equació de Schrödinger independent del temps, per tal de trobar els autoestables de l'energia :

Es pot demostrar que les funcions d'ona, , el mòdul al quadrat descriu la densitat de probabilitat que la partícula tingui una determinada posició < math> i </math>, són el producte d'exponencials pels polinomis d'Hermite. La figura de la dreta mostra la forma d'aquestes funcions per als sis autoestable amb energia més baixa (l'estat de menor energia és el que figura a la part superior de la mateixa). En particular, l'energia del nivell n-èsim serà:

on és la constant de Planck.

És important assenyalar un parell de fets:

  • Els nivells d'energia es troben cuantizados , és a dir, només poden prendre una sèrie de valors discret s.
  • El nivell mínim d'energia no és zero, sinó . Noteu que la funció d'ona d'aquest estat mostra que la partícula no es troba en tot moment en la posició d'equilibri .

A la segona figura, es mostren les densitats de probabilitat espacial de la partícula per als diferents autoestable. Noteu que a mesura que creix l'energia del autoestable considerat (és a dir, l'ordre ), les distribucions de probabilitat tendeixen a concentrar-se en els punts de retorn, o màxima amplitud. Aquesta situació és la que es dóna en el cas clàssic, si es defineix per a ell una densitat de probabilitat inversament proporcional a la velocitat de la partícula en cada punt. [8] Per tant, es compleix el principi de correspondència (és a dir, es poden predir els resultats que s'obtindrien en el límit clàssic).

Vegeu també[modifica]

Referències[modifica]

  1. Simmons, capítol 3
  2. Simmons, pàgines 84-87
  3. TN Palmer (1995): "A local deterministic model of Quantum Spin Measurement", Proceedings: Mathematical and Physical Sciences , Volume 451 , Issue 1943, pp. 585-608
  4. de Duffing
  5. Cartwright, ML, " Balthazar van der Pol ", J. London Math. Soc , 35 , 367-376, (1960).
  6. Marion, pàgines 103 i 104
  7. Tipler, pàgina 1190
  8. Guillén, pàgines 114 i 115

Bibliografia[modifica]

  • feynman, leighton and sands. lectures on physics. addison-wesley. ISBN 0-8053-9045-6. 
  • r. resnick and d. halliday. physics. john wiley & sons, 1996. ISBN 0-471-83202-2. 
  • marion, jerry b.. dinàmica clàssica de les partícules i sistemes. barcelona: ed reverté, 1996. ISBN 84-291-4094-8. 
  • simmons, george f.. equacions diferencials. amb aplicacions i notes històriques. aravaca (madrid): mcgraw-hill, 1999. ISBN isbn 84-481-0045-x. 
  • tipler, paul a.. física per a la ciència i la tecnologia (volum 2). barcelona: ed reverté, 2000. ISBN isbn 84-291-4382-3. 
  • sánchez guillén, joaquín. braun, mikhaïl a.. física quàntica. madrid: aliança editorial, 1993. ISBN 84-206-8145-8. 

Enllaços externs[modifica]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Mcapdevila/Oscil·lador harmònic