Espai vectorial normat

A matemàtica un espai vectorial es diu que és normat si s'hi pot definir una norma vectorial. Podem assenyalar els següents fets que ajuden a comprendre la importància del concepte d'espai normat:

• En un espai euclidià, la norma coincideix precisament amb la longitud del vector.
• Tot espai vectorial normat és un espai mètric amb la distància induïda per la norma.
• Si l'espai vectorial és a més complet es diu que és un espai de Banach.

Definició

Un espai vectorial V sobre un cos $\mathbb{K}$ en el qual es defineix un valor absolut (generalment $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$) es diu que és normat si en ell es pot definir una norma, és a dir, una aplicació $||.||: V\rightarrow\mathbb{R}$, que verifica:

1. No negativitat. Per a tot $\vec x$ de $\mathbf{V}$ la seva norma ha de ser positiva, i serà zero si i només si $\vec x$ és el vector zero: $0 <||\vec x||$ si $\vec x\neq\vec 0$ i $||\vec x||= 0\Longleftrightarrow\vec x =\vec 0$.
2. Homogeneïtat. Per a tot $\vec x$ de $\mathbf{V}$ i per a tot k de $\mathbb{K}$ es satisfà que $||k\vec x||=|k|$ · $||\vec x||$ on||és el mòdul o valor absolut.
3. Desigualtat triangular. Per a tots $\vec x$ e $\vec y$ de $\mathbf{V}$ es compleix que $|| \vec {x} + \vec {y} || \leq || \vec {x} || + || \vec {y} ||$.

Generalment es denotarà a $(V ,||)$ l'espai vectorial normat i quan la norma sigui clara simplement per $V$.

Exemples

D'dimensió finita

• $\mathbb{R}$
• El espai euclidià $\mathbb{R}^n$.
• Les matrius quadrades d'ordre n sobre $\mathbb{R}$: $M_{n}\left (\mathbb{R}\right)$

Distància induïda

En tot espai vectorial normat es pot definir la distància $d: V\rightarrow V$:

$d (x, y): =||x - y||\,$

amb la qual (V, d) és un espai mètric.

Espais vectorials normats de dimensió finita

Es compleixen els següents resultats (que generalment no són certes per a espais de dimensió infinita):

• Totes les normes definides en l'espai són equivalents, és a dir, defineixen la mateixa topologia. La convergència o divergència d'una successió no depèn de la norma escollida. El resultat no és cert per a espais de dimensió infinita sent sempre hi ha dues normes que no són equivalents.
• L'espai és complet, és a dir, és un espai de Banach. Com a conseqüència, tot subespai de dimensió finita d'un espai vectorial normat (no necessàriament de dimensió finita) és tancat.
• Un espai vectorial normat és de dimensió finita si i només si la bola unitat és compacta.
• Tot funcional lineal és continu. Si l'espai té dimensió infinita, hi ha funcionals lineals no continus.
• Teorema de Heine-Borel o teorema de Borel-Lebesgue. Un subconjunt de l'espai vectorial és compacte si i només si és tancat i acotat.