En matemàtiques , la funció signe és la funció que assigna a cada nombre real el seu signe (+1, -1 o 0). És una funció definida a trossos , que obté el signe de qualsevol nombre real que es prengui com entrada. Es representa generalment mitjançant
sgn
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}
funció sinus
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(x)}
funció sinus hiperbòlic
sinh
(
x
)
{\displaystyle \sinh(x)}
s
h
(
x
)
{\displaystyle sh(x)}
Funció signe representada en un pla cartesià . La funció signe té com a domini de definició
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
nombres reals ) i com a imatge el conjunt
{
−
1
,
0
,
1
}
{\displaystyle \{-1,0,1\}}
sgn
:
R
→
{
−
1
,
0
,
1
}
x
→
y
=
sgn
(
x
)
{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\operatorname {sgn} :&\mathbb {R} &\to &\{-1,0,1\}\\&x&\to &y=\operatorname {sgn}(x)\end{array}}}
A partir d'aquí, i per tal d'obtenir la funció signe, trobem entre les definicions possibles les següents.
Definició directa [ modifica ] La definició més usual és per trossos:[1]
sgn
(
x
)
:=
{
1
,
si
x
>
0
0
,
si
x
=
0
−
1
,
si
x
<
0
{\displaystyle \operatorname {sgn}(x):=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{si }}x>0\\0,&{\mbox{si }}x=0\\-1,&{\mbox{si }}x<0\end{matrix}}\right.}
A partir de la funció valor absolut [ modifica ] Sigui
|
x
|
{\displaystyle {|x|}}
funció valor absolut sobre
x
{\displaystyle x}
R
∖
{
0
}
{\displaystyle \mathbb {R} \backslash \{0\}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
d
|
x
|
d
x
{\displaystyle {\dfrac {d|x|}{dx}}}
derivada . Aleshores podem definir
sgn
(
x
)
:=
{
d
|
x
|
d
x
,
si
x
≠
0
0
,
si
x
=
0
{\displaystyle \operatorname {sgn}(x):=\left\{{\begin{matrix}{\dfrac {d|x|}{dx}},&{\mbox{si }}x\neq 0\\0,&{\mbox{si }}x=0\end{matrix}}\right.}
Sigui
|
x
|
{\displaystyle {|x|}}
funció valor absolut sobre
x
{\displaystyle x}
R
∖
{
0
}
{\displaystyle \mathbb {R} \backslash \{0\}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
[1]
sgn
(
x
)
:=
{
x
|
x
|
,
si
x
≠
0
0
,
si
x
=
0
{\displaystyle \operatorname {sgn}(x):=\left\{{\begin{matrix}{\dfrac {x}{|x|}},&{\mbox{si }}x\neq 0\\0,&{\mbox{si }}x=0\end{matrix}}\right.}
A partir de la funció esglaó unitari [ modifica ] Sigui
u
(
x
)
{\displaystyle {u(x)}}
funció esglaó de Heaviside o funció esglaó unitari (coneguda en anglès com Heaviside Step ) que pren els valors
u
(
x
)
=
{
1
,
si
x
>
0
1
2
,
si
x
=
0
0
,
si
x
<
0
{\displaystyle u(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{si }}x>0\\{\frac {1}{2}},&{\mbox{si }}x=0\\0,&{\mbox{si }}x<0\end{matrix}}\right.}
Aleshores, podem definir[1]
sgn
(
x
)
:=
2
u
(
x
)
−
1
{\displaystyle \operatorname {sgn}(x):=2u(x)-1}
Amb claudàtors d'Iverson [ modifica ] Una definició senzilla de la funció signe a partir de claudàtors d'Iverson és
sgn
(
x
)
:=
[
x
>
0
]
−
[
x
<
0
]
{\displaystyle \operatorname {sgn} {(x)}:=[x>0]-[x<0]}
A partir de les funcions de part entera i de valor absolut [ modifica ] Fent servir la funció de part entera de
x
{\displaystyle x}
⌊
x
⌋
{\displaystyle \lfloor x\rfloor }
funció valor absolut de
x
{\displaystyle x}
|
x
|
{\displaystyle |x|}
sgn
(
x
)
=
⌊
x
|
x
|
+
1
⌋
−
⌊
−
x
|
−
x
|
+
1
⌋
{\displaystyle \ \operatorname {sgn}(x)={\Bigg \lfloor }{\frac {x}{|x|+1}}{\Bigg \rfloor }-{\Bigg \lfloor }{\frac {-x}{|-x|+1}}{\Bigg \rfloor }}
La funció signe no és contínua a x = 0
sgn
(
−
x
)
=
−
sgn
(
x
)
∀
x
∈
R
.
{\displaystyle \operatorname {sgn}(-x)=-\operatorname {sgn}(x)\qquad \forall {x}\in \mathbb {R} \,.}
Tot nombre real
x
{\displaystyle x}
valor absolut i la funció signe avaluada en
x
{\displaystyle x}
x
=
sgn
(
x
)
⋅
|
x
|
∀
x
∈
R
.
{\displaystyle x=\operatorname {sgn}(x)\cdot |x|\,\qquad \forall x\in \mathbb {R} \,.}
La funció signe és la derivada de la funció valor absolut en
R
∖
{
0
}
{\displaystyle \mathbb {R} \backslash \{0\}}
d
|
x
|
d
x
=
sgn
(
x
)
∀
x
≠
0
.
{\displaystyle {d|x| \over dx}=\operatorname {sgn}(x)\qquad \forall x\neq 0\,.}
d
sgn
(
x
)
d
x
=
2
δ
(
x
)
.
{\displaystyle {d\ \operatorname {sgn}(x) \over dx}=2\delta (x)\,.}
on
δ
(
x
)
{\displaystyle \delta (x)}
La funció signe és el límit de la següent successió de funcions
f
k
(
x
)
=
tanh
(
k
x
)
{\displaystyle {f}_{k}(x)=\tanh(kx)}
on
tanh
(
x
)
{\displaystyle \tanh(x)}
funció tangent hiperbòlica de
x
{\displaystyle x}
lim
k
→
∞
tanh
(
k
x
)
=
sgn
(
x
)
.
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\tanh(kx)=\operatorname {sgn}(x)\,.}
Òbviament la convergència en aquest últim cas no és uniforme , és només puntual . La funció
f
(
x
,
ϵ
)
=
x
x
2
+
ϵ
2
{\displaystyle f(x,\epsilon )={\frac {x}{\sqrt {{x}^{2}+{\epsilon }^{2}}}}}
x
{\displaystyle x}
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
lim
ϵ
→
0
f
(
x
,
ϵ
)
=
x
x
2
+
ϵ
2
=
sgn
(
x
)
x
∈
R
{\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}f(x,\epsilon )={\frac {x}{\sqrt {{x}^{2}+{\epsilon }^{2}}}}=\operatorname {sgn} {(x)}\qquad x\in \mathbb {R} }
La funicó signe és també el producte de l'arrel quadrada de tot nombre real diferent de zero per l'arrel quadrada del seu invers,[1]
sgn
(
x
)
=
x
⋅
1
x
∀
x
≠
0
.
{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\sqrt {x}}\cdot {\sqrt {1 \over x}}\qquad \forall x\neq 0\,.}
Generalitzacions a
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
[ modifica ] Generalització de la funció signe a
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
sgn
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {sgn} {(z)}}
z
{\displaystyle z}
La funció signe se sol generalitzar al conjunt dels nombres complexos com a:[1]
sgn
(
x
)
=
{
z
|
z
|
,
si
z
≠
0
0
,
si
z
=
0
{\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {z}{|z|}},&{\mbox{si }}z\neq 0\\0,&{\mbox{si }}z=0\end{matrix}}\right.}
D'aquesta manera, per tot
z
≠
0
{\displaystyle z\neq 0}
z
{\displaystyle z}
punt del cercle unitat del pla complex més proper a
z
{\displaystyle z}
sgn
(
z
)
=
e
i
arg
(
z
)
∀
z
∈
C
∖
{
0
}
,
{\displaystyle \operatorname {sgn}(z)=e^{i\arg {(z)}}\qquad \forall z\in \mathbb {C} \backslash \{0\}\,,}
on
arg
(
z
)
{\displaystyle \arg {(z)}}
funció argument complex .
La tria de
sgn
(
0
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0}
sgn
(
0
)
{\displaystyle \operatorname {sgn}(0)}
[3]
Una altra generalització de la funció signe a
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
csgn
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {csgn} (z)}
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
[4]
csgn
(
z
)
=
{
sgn
(
R
e
(
z
)
)
si
R
e
(
z
)
≠
0
,
sgn
(
I
m
(
z
)
)
si
R
e
(
z
)
=
0
=
{
1
si
R
e
(
z
)
>
0
,
−
1
si
R
e
(
z
)
<
0
,
sgn
(
I
m
(
z
)
)
si
R
e
(
z
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {csgn} (z)={\begin{cases}\operatorname {sgn}(\mathrm {Re} (z))&{\text{si }}\mathrm {Re} (z)\neq 0,\\\operatorname {sgn}(\mathrm {Im} (z))&{\text{si }}\mathrm {Re} (z)=0\end{cases}}\qquad ={\begin{cases}1&{\text{si }}\mathrm {Re} (z)>0,\\-1&{\text{si }}\mathrm {Re} (z)<0,\\\operatorname {sgn}(\mathrm {Im} (z))&{\text{si }}\mathrm {Re} (z)=0\end{cases}}}
on
R
e
(
z
)
{\displaystyle \mathrm {Re} (z)}
z
{\displaystyle z}
I
m
(
z
)
{\displaystyle \mathrm {Im} (z)}
z
{\displaystyle z}
Amb aquesta definició tenim les següents propietats:
Coincidència amb la funció signe sobre els reals, és a dir:
csgn
(
x
)
=
sgn
(
x
)
∀
x
∈
R
{\displaystyle \operatorname {csgn} (x)=\operatorname {sgn}(x)\qquad \forall x\in \mathbb {R} }
csgn
(
z
)
=
z
z
2
=
z
2
z
∀
z
∈
C
∖
{
0
}
{\displaystyle \operatorname {csgn} (z)={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}\qquad \forall z\in \mathbb {C} \backslash \{0\}}
Distribució signe [ modifica ] En el context de les funcions generalitzades o distribucions, es pot definir la distribució signe
ε
(
x
)
{\displaystyle \varepsilon {(x)}}
ε
(
x
)
2
=
1
∀
x
∈
R
{\displaystyle {\varepsilon {(x)}}^{2}=1\quad \forall x\in \mathbb {R} }
x
=
0
{\displaystyle x=0}
sgn
(
0
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {sgn} {(0)}=0}
ε
(
x
)
{\displaystyle \varepsilon {(x)}}
àlgebra de funcions generalitzades, però a costa de perdre la commutativitat . En particular, la funció sigma generalitzada
ε
(
x
)
{\displaystyle \varepsilon {(x)}}
funció delta de Dirac :[5]
ε
(
x
)
δ
(
x
)
+
δ
(
x
)
ε
(
x
)
=
0
{\displaystyle \varepsilon {(x)}\delta {(x)}+\delta {(x)}\varepsilon {(x)}=0~}
Una altra contrapartida és que
ε
(
x
)
{\displaystyle \varepsilon {(x)}}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
sgn
(
0
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {sgn} {(0)}=0}
↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Weisstein , Eric W.«Funció signe» a MathWorld (en anglès).↑ Bracewell , Ronald N. «The Sign Function, sgnx.». A: The Fourier Transform and Its Applications (en anglès). 3a edició. Nova York : McGraw-Hill, 1999, pàgs. 61-62. ↑ Rich , A.; Jeffrey , D. «Function Evaluation on Branch Cuts» (en anglès). SIGSAM Bull. , No. 116, 25-27, juny 1996.↑ Maple V documentation (en anglès), 21 de maig de 1998. ↑ Shirokov , Yuri MijailovichAlgebra of one-dimensional generalized functions » (en anglès). TMF DOI : 10.1007/BF01017992 .
![{\displaystyle \operatorname {sgn} {(x)}:=[x>0]-[x<0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bfa444b90a8ab3cc23a843e379a34b12f19b187)
