Funció signe

En matemàtiques, la funció signe és la funció que assigna a cada nombre real el seu signe (+1, -1 o 0). Es representa mitjançant una notació com ara sgn(x).

Definició

Funció signe representada en un pla cartesià.

La funció signe pot definir-se de les següents maneres:

1. On el seu domini de definició és R i el seu conjunt imatge {-1, 0, 1}.

$\sgn (x) = \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{si }x > 0 \\ 0, & \mbox{si }x = 0 \\ -1, & \mbox{si }x < 0 \end{matrix}\right.$

2. Com que la derivada de la funció valor absolut. El seu domini de definició és R-{0} i el seu conjunt imatge {-1, 1}

$\sgn (x) = \dfrac {d|x|} {dx} = \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{si }x > 0 \\ -1, & \mbox{si }x < 0 \end{matrix}\right.$

3. sgn(x) = 2u(x) - 1 on u és la funció esglaó unitari o Heaviside Step definida de la següent manera:

$u(x) = \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{si }x > 0 \\ \frac {1} {2}, & \mbox{si }x = 0 \\ 0, & \mbox{si }x < 0 \end{matrix}\right.$

Propietats

• La funció signe és una funció imparella, és a dir:

$\sgn(-x) = -\sgn(x)$

• Tot nombre real x pot expressar com a producte del seu valor absolut i la funció signe avaluada en x .

$X = \sgn (x) \cdot|x|\, \qquad x \in \mathbb{R}$

• La funció signe és la derivada de la funció valor absolut, (amb independència en zero).

${d|x|\over dx}= \sgn (x) \,.$

• La funció signe és derivable amb derivada 0 per tot el seu domini excepte en 0. No és derivable en 0 en el sentit ordinari de derivada, però sota una noció més general de derivada dins de la teoria de distribucions, la derivada de la funció signe és dues vegades la funció delta de Dirac.

${d \ \sgn (x) \over dx}= 2 \delta (x) \,.$

• Per $k \gg 0$, una aproximació suau de la funció signe és:

$\ \sgn x \approx \tanh (kx) \,.$

Vegeu també

• Funció contínua
• Complement a dos, complement a u enfocaments de resta de nombres en el sistema binari