Usuari:Jordiventura96/proves/Constant de Gelfond

En matemàtiques, la constant de Gelfond és un nombre trascendent definit com el nombre d'Euler e elevat al nombre pi π:

$e^{\pi }\approx 23.14069263277926900572908636794854738\dots \,.$

Té aquest nom en honor al matemàtic rus Aleksandr Gelfond que el 1934 va provar-ne la trascendència mitjançant el teorma de Gelfond.

Demostració de la trascendència

Segons el teorema de Gelfond (1934), siguin a i b dos nombres algebraics si b no és un nombre racional, llavors a^b sempre serà un nombre trascendent. Aquest teorema va ser demostrat per Gelfond l'any 1934, resolent així el setè dels 23 problemes de Hilbert.

Mitjançant la fórmula d'Euler

Partim de la fórmula d'Euler:

$e^{\mathrm {i} x}=\cos x+\mathrm {i} \,\sin x$

Substituint la x per π/2 tindrem:

$e^{i{\frac {\pi }{2}}}=i.$

Elevant a i en ambues bandes i recordant que $i^{2}=-1$:

$e^{-{\frac {\pi }{2}}}=i^{i},$

Elevant a -2 a banda i banda:

$e^{\pi }=i^{-2i};$

I tractant-se $i^{-2i}$ d'un nombre trascendent en cumplir-se el teorema de Gelfond, es demostra que $e^{\pi }$ és un nombre trascendent.

Mitjançant forma exponencial de complexos

Tenint en compte que $i*(-i)=1$ i que $e^{i\pi }=-1$, tenim que:

$e^{\pi }=(e^{i\pi })^{-i}=(-1)^{-i},$

Llavors, en ser -1 un nombre algebraic i -i un nombre algebraic no racional, es compleix el teorema de Gelfond i es demostra que $e^{\pi }$ és un nombre trascendent.

Càlcul

El valor de la constant de Gelfond es pot obtenir ràpidament utilitzant la següent seqüència:

Partint del valor de k₀

$k_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}},$

I obtenint cada element de la seqüència a través de la fórmula següent

$k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}}.$

Un cop s'ha arribat al valor de k_n desitjat, n'hi ha prou a agafar:

$e^{\pi }\approx \left({\frac {k_{n}}{4}}\right)^{\frac {-1}{2^{n}}}.$

Peculiaritat geomètrica

El volum de la bola n-dimensional ve donada per:

$V_{n}={\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n} \over \Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}.$

on $R$ és el radi i $\Gamma$ és la funció gamma. Tota bola de dimensió parella 2n i de radi la unitat té de volum:

$V_{2n}={\frac {\pi ^{n}}{n!}}\$

I si sumem tots els volums de les boles de dimensió parella de radi 1, obtenim la constant de Gelfond:

$\sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}=e^{\pi }.\,$

Curiositats

El nombre:

$e^{\pi }-\pi \approx 19.9991...\,$ es troba a menys d'una mil·lèssima d'un enter.

$e^{\pi }+\pi \,$ és irracional, demostrat per Yuri V. Nesterenko.

Vegeu també

1. Identitat d'Euler
2. Nombres trascendents
3. Nombre pi
4. Nombre e

Enllaços externs

• http://mathworld.wolfram.com/GelfondsConstant.html