Funció contínua

De Viquipèdia
(S'ha redirigit des de: Funcions i continuïtat)
Dreceres ràpides: navegació, cerca
«Continuïtat» redirigeix aquí. Vegeu-ne altres significats a «Continuïtat (desambiguació)».

Funció contínua és un terme utilitzat en matemàtiques i, en particular, en topologia.

Definició matemàtica per funcions de variables reals[modifica | modifica el codi]

Funció contínua en un punt[modifica | modifica el codi]

Siguin un interval de , una aplicació de a , i un punt de .

  1. Si i és un punt d'acumulació de , direm que és contínua en el punt si .
  2. Si i no és un punt d'acumulació de , direm que és contínua per definició.

La definició anterior també es pot formular en termes de distàncies, diem que és contínua en el punt si i només si:

És a dir, una funció és contínua quan per qualsevol punt del seu domini podem trobar un interval tal que la seva imatge estigui continguda en un interval tan petit com vulguem al voltant de la seva imatge .

Finalment, en termes de successions la funció és contínua en el punt si, sigui

Continuïtat i límits[modifica | modifica el codi]

Si és contínua en , llavors .

Si això és cert únicament per a , es diu que és contínua a la dreta de .

De la mateixa forma, si és contínua per a , és contínua a l'esquerra de .

Dir que és contínua en significa que aquesta aplicació és contínua a la dreta i a l'esquerra d'aquest punt.

Continuïtat en un interval[modifica | modifica el codi]

Es diu que és contínua en si és contínua en tots el punts d'aquest interval.

És a dir:

,

que equival a què:

  • és contínua a .
  • El límit a la dreta de quan val i el límit a l'esquerra quan val .

Evidentment, en la definició el número depèn de , ja que si es fa més petit, pot ser que hàgim de buscar un més petit. Però en aquest apartat cal aclarir que el número també depèn del punt , és a dir, per un mateix valor de , un valor de que serveix per algun punt en concret pot no servir per un altre punt. En general, donat un valor de no existeix un valor de que serveixi per a tots els punts , tot i així, quan aquest valor existeix parlem de continuïtat uniforme.

Derivabilitat i continuïtat[modifica | modifica el codi]

Qualsevol funció derivable en un punt o en un interval, és igualment contínua en aquest punt o interval.

El recíproc és fals.

Per exemple, la funció (valor absolut de és una funció contínua a , en canvi, no és derivable en el punt .

Funcions usuals[modifica | modifica el codi]

Les funcions polinòmiques, exponencials, logarítmiques, hiperbòliques, trigonomètriques són derivables en els intervals en què estan definides, i són, doncs, igualment contínues en aquests intervals.

Teoremes sobre funcions contínues[modifica | modifica el codi]

Teorema dels compactes[modifica | modifica el codi]

"Si és contínua en un compacte és compacte."

Efectivament, per demostrar que és un compacte necessitem veure que, sigui , la successió té alguna successió parcial convergent .

Com que, per hipòtesi és un compacte, existeix alguna successió parcial convergent. Sigui el límit d'aquesta successió , per la definició de continuïtat (definició per successions) tenim que . Però per la definició que hem fet al principi, resultant així que (que és una successió parcial de ) és convergent. I és un compacte.

Teorema del màxim i el mínim[modifica | modifica el codi]

"Si és contínua en un compacte té màxim i mínim."

Efectivament, pel teorema dels compactes si és contínua en el compacte , és compacte. Com que qualsevol compacte és fitat, existiran un suprem () i un ínfim (). Demostrem ara que . En efecte, podem trobar valors tan a prop de com vulguem (si no fos així, podríem trobar una fita superior més petita que , arribant a una contradicció), per tant podem construir una successió que convergeixi a . Com que és un compacte és tancat i per tant, . Sent el màxim del compacte .

De manera anàloga podem trobar valors tan a prop de com vulguem (o arribem a una contradicció), per tant, podem construir una successió . I com que és tancat , sent el mínim d'aquest compacte.

Teorema de Bolzano[modifica | modifica el codi]

"Si és contínua en un interval tancat , amb (és a dir, no nuls i de signe oposat) on ."

Efectivament, anomenem , sigui el punt central d'aquest interval. Si el teorema queda demostrat. Si , aleshores partim l'interval en els intervals i . Com que i tenen signes oposats, tindrà el mateix signe que un dels dos i tindrà signe oposat que l'altre. Anomenem a l'interval en que tingui signes oposats en els extrems, i definim com el punt central de . De nou repetim el mateix procés, si hem acabat, si no, definim Si per algun interval es compleix que hem acabat, si no tenim definits infinits intervals en els quals pren valors oposats en els extrems.

Notem que es compleix sempre que i la longitud de cada interval és: .

Construïm la successió . Sigui un interval de longitud , aleshores és clar que ja que . Per tant, tal que i, en conseqüència . Per tant, la successió és una successió de Cauchy i per tant és convergent. Denotem . Suposem que , aleshores per continuïtat podem trobar un interval que compleixi que en tot l'interval. Però a partir d'algun subíndex i existeix algun punt de en que (recordem que pren valors de signe oposat en els seus extrems). Igualment, si per continuïtat podem trobar un interval que compleixi que . Però a partir d'algun subíndex i existeix algun punt de en que . Per tant l'única possibilitat és que . Quedant així demostrat el teorema.

Teorema del valor intermedi de Bolzano[modifica | modifica el codi]

Article principal: Teorema del valor intermedi

"Si és contínua en un interval tancat , amb , i està entre i on ."

Efectivament si està entre i , aleshores i tenen signes oposats. Definim aleshores la funció , com que és contínua en l'interval , és contínua en el mateix interval. Hem dit que i tenen signes oposats, per tant, pel teorema de Bolzano, existeix un punt que compleix que .

Teorema de la continuïtat de la funció inversa[modifica | modifica el codi]

"Si és contínua i invertible en un interval és estrictament creixent o decreixent a i és contínua a ."

Efectivament, si és invertible ha de ser injectiva. Per tant, si per a dos punts Suposem que , aleshores, , ja que, si , pel teorema del valor intermedi de Bolzano, existeix algun punt entre que compleix que , però això no pot ser perquè és injectiva. Pel mateix argument no es pot donar el cas que , ja que existiria algun punt que compleix que . Per tant tenim que està entre i .

Considerem ara un punt , és a dir, , pel mateix argument que a dalt podem afirmar que (i, per tant, ). Per tant, podem afirmar que si , és a dir, és estrictament decreixent, si en comptes de suposar al principi que suposem que arribem a la conclusió (després de aplicar exactament el mateix raonament) que és estrictament creixent. Demostrem ara que és contínua a l'interval .

Sigui , hem de demostrar que .

Notem que, al ser contínua i estrictament creixent (decreixent) es compleix que . És a dir, que un punt pertany a l'interval si i només si la seva imatge pertany a l'interval d'extrems i .

Per tant, per a qualsevol podem trobar un tal que

Si , aleshores

Quedant demostrat que la funció és contínua.

Tipus de discontinuïtats de funcions d'una variable real[modifica | modifica el codi]

Discontinuïtat asimptòtica[modifica | modifica el codi]

Una funció f(x) presenta una discontinuïtat asimptòtica en un punt a quan no està definida en aquest punt i el límit de la funció en aquest punt és de tipus infinit. Es pot donar un dels quatre casos diferents:

   (1)          (2)         (3)    i        (4)    i 

La recta x=a s'anomena asímptota vertical.

Exemple:

Discontinuïtat asimptòtica

Discontinuïtat de salt[modifica | modifica el codi]

Una funció f(x) presenta una discontinuïtat de salt en un punt a quan els límits laterals en aquest punt no són iguals:      

Exemple:

Discontinuïtat de salt

Discontinuïtat evitable[modifica | modifica el codi]

Una funció f(x) presenta una discontinuïtat evitable en un punt a quan la funció té límit en aquest punt però no coincideix amb el valor de la funció, bé perquè no està definida, bé perquè és diferent:      

Per tant, la funció f es podria fer contínua només redefinint f(a).

Exemple:

Discontinuïtat evitable

Àlgebra de les funcions contínues i composició de funcions contínues[modifica | modifica el codi]

Per definició:

contínua a .

Dels teoremes sobre els límits resulta:

Àlgebra de les funcions contínues[modifica | modifica el codi]

Siguin i dues funcions contínues en un mateix interval . Llavors:

  • (combinació lineal)
  • (producte)
  • (quocient)

són funcions contínues a .

Composició de funcions contínues[modifica | modifica el codi]

Si és contínua a i és contínua a llavors és contínua a .

Funcions contínues entre espais topològics[modifica | modifica el codi]

Article principal: Continuïtat (topologia)

La definició esmentada de funció continua es pot expressar de forma més general a les funcions entre dos espais topològics; donada una funció entre dos espais topològics, aquesta és contínua si i només si per a tot obert es dóna que és un obert de .

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Funció contínua Modifica l'enllaç a Wikidata