Lleis de Kepler

De Viquipèdia
Jump to navigation Jump to search
Il·lustració de les tres lleis de Kepler amb dues òrbites planetàries.
  1. Les òrbites són el·lipses, amb els punts focals F1 i F2 pel primer planeta i F1 i F3 pel segon. El Sol es troba al focus F1.
  2. Els dos sectors ombrejats A1 i A2 tenen la mateixa àrea, i el temps que ttarda el planeta 1 per cobrir el segment A1 és igual al temps per cobrir el segment A2.
  3. Els temps d'òrbita totals pels planetes 1 i 2 segueixen la proporció .

En astronomia, les lleis de Kepler són tres lleis científiques que descriuen el moviment dels planetes al voltant del Sol.

  1. L'òrbita d'un planeta és una el·lipse amb el Sol situat en un dels seus dos focus.
  2. Un segment rectilini que uneix el planeta i el Sol escombra àrees iguals en intervals de temps iguals.[1]
  3. El quadrat del període orbital d'un planeta és proporcional al cub del semieix major de la seva òrbita.

Aquestes lleis s'apliquen a qualsevol cos orbitant al voltant d'un altre (per exemple la Lluna o els satèl·lits artificials i la Terra), sempre que negligim la influència de tercers cossos. La major part d'òrbites planetàries són gairebé circulars, i es necessiten càlculs i observació per determinar que no són perfectament circulars. Els càlculs de l'òrbita de Mart, valors publicats dels quals subjecte de debat,[2] indicaven que es tractava d'una òrbita el·líptica. A partir d'aquí, Johannes Kepler va deduir que els altres cossos del Sistema Solar, incloent-hi aquells més llunyans al Sol, també tenen òrbites el·líptiques.

L'obra de Kepler, publicada entre el 1609 i el 1619, va millorar la teoria heliocèntrica de Nicolau Copèrnic explicant com variaven les velocitats dels planetes, i fent servir òrbites el·líptiques i no circulars amb epicicles.[3] El 1687, Isaac Newton va demostrar que les relacions establertes per Kepler s'aplicaven al Sistema Solar com a conseqüència de les seves lleis del moviment i de la gravitació universal.

Formulari[modifica]

El model matemàtic de la cinemàtica d'un planeta subjecte a les lleis permet fer un gran ventall de càlculs.

Primera llei de Kepler[modifica]

« L'òrbita de cada planeta és una el·lipse amb el Sol a un dels seus dos focus. »
La primera llei de Kepler situa el Sol al focus d'una òrbita el·líptica
Sistema de coordenades heliocèntric (r, θ) per una el·lipse. També s'hi mostren el semieix major a, el semieix menor b i el semilatus rectum p; el centre de l'el·lipse i els seus dos focus marcats per punts. Per θ = 0°, r = rmin i per θ = 180°, r = rmax.

Matemàticament, es pot representar amb la fórmula:

on és el semilatus rectum, ε és l'excentricitat de l'el·lipse, r és la distància des del Sol fins al planeta, i θ és l'angle a la posició actual del planeta des de la seva aproximació més propera, vist des del Sol. Així, (rθ) és un sistema de coordenades polars.

Per una el·lipse 0 < ε < 1; al cas límit ε = 0, l'òrbita és un cercle amb el Sol al centre, ja que l'excentricitat és nul·la.

A θ = 0°, periheli, la distància és mínima

A θ = 90° i a θ = 270° la distància és igual a .

A θ = 180°, afeli, la distància és màxima (per definició, l'afeli és – invariablement – el periheli més 180°)

El semieix major a és la mitjana aritmètica entre rmin i rmax:

El semieix menor b és la mitjana geomètrica entre rmin i rmax:

El semilatus rectum p és la mitjana harmònica entre rmin i rmax:

L'excentricitat ε és el coeficient de variació entre rmin i rmax:

L'àrea de l'el·lipse és

El cas especial d'un cercle, on ε = 0, porta al fet que r = p = rmin = rmax = a = b i A = πr2.

Segona llei de Kepler[modifica]

« Una recta que uneix un planeta i el Sol escombra àrees iguals en intervals de temps iguals.[1] »
S'escombra la mateixa àrea (en blau) en un període de temps fix. La fletxa verda és la velocitat. La fletxa lila dirigida cap al Sol, és l'acceleració. Les altres dues fletxes liles són les components de l'acceleració paral·lela i perpendicular a la velocitat.

El radi orbital i la velocitat angular del planeta a l'òrbita el·líptica varia. Aquest fet es mostra a l'animació: el planeta es mou més ràpidament quan és a prop del Sol, i més lentament quan se n'allunya. La segona llei de Kepler afirma que el sector blau té una àrea constant.

Per un breu instant el planeta escombra un petit triangle de base altura i àrea , i així la velocitat areolar constant és

L'àrea de l'òrbita el·líptica és Així, el període satisfà

i el moviment mitjà del planeta al voltant del Sol

satisfà

Tercera llei de Kepler[modifica]

« El quadrat del període orbital és directament proporcional al cub del semieix major de la seva òrbita. »

Això captura la relació entre la distància dels planetes des del Sol, i els seus períodes orbitals. Kepler va enunciar aquesta llei el 1619[4] en un intent per determinar segons lleis precises el que veia com la "música de les esferes", i expressar-ho en termes de notació musical.[5] Així, era coneguda com la llei harmònica.[6]

Emprant la llei de la gravitació de Newton, publicada el 1687, es pot trobar aquesta relació pel cas d'una òrbita circular igualant la força centrípeta a la força gravitacional:

Llavors, expressant la velocitat angular en termes del període orbital i reordenant els termes, es troba la Tercera Llei de Kepler:

Es pot trobar una relació més general per a òrbites el·líptiques i per òrbites al voltant d'un centre de massa, més que al voltant d'una massa gran. Això resulta en reemplaçar un radi circular amb el semieix major d'una el·lipse , a més de reemplaçar la massa per . Tanmateix, com que les masses dels planetes són significativament inferiors a les del Sol, sovint s'ignora aquesta correcció. La fórmula corresponent sencera és:

on és la massa del sol, és la massa del planeta i és la constant de la gravitació, és el període orbital i és el semieix major de l'el·lipse.

La següent taula mostra les dades emprades per Kepler per derivar empíricament la seva llei:

Dades emprades per Kepler (1618)
Planeta Distància mitjana
al sol (UA)
Període
(dies)
 (106 AU3/day2)
Mercuri 0,389 87,77 7,64
Venus 0,724 224,70 7,52
Terra 1 365,25 7,50
Mart 1,524 686,95 7,50
Júpiter 5,2 4332,62 7,49
Saturn 9,510 10759,2 7,43

Després de trobar aquest patró, Kepler va escriure: "Inicialment creia que somiava... però és absolutament cert i exacte que aquesta proporció entre els períodes de dos planetes qualssevol és exactament la potència de 3/2 de la distància mitjana."[7]

Representació logarítmica del període orbital (en anys terrestres) segons el semieix major (en unitats astronòmiques) per als vuit planetes del sistema solar.

Segons estimacions modernes:

Dades actuals (Wolfram Alpha Knowledgebase 2018)
Planeta Semieix major (UA) Període (dies)  (106 UA3/dia2)
Mercuri 0,38710 87,9693 7,496
Venus 0,72333 224,7008 7,496
Terra 1 365,2564 7,496
Mart 1,52366 686,9796 7,495
Júpiter 5,20336 4332,8201 7,504
Saturn 9,53707 10775,599 7,498
Urà 19,1913 30687,153 7,506
Neptú 30,0690 60190,03 7,504

Referències[modifica]

  1. 1,0 1,1 Bryant, Jeff; Pavlyk, Oleksandr. "Kepler's Second Law", Wolfram Demonstrations Project. Retrieved December 27, 2009.
  2. https://www.nytimes.com/1990/01/23/science/after-400-years-a-challenge-to-kepler-he-fabricated-his-data-scholar-says.html?pagewanted=1
  3. Holton, Gerald James; Brush, Stephen G.. Physics, the Human Adventure: From Copernicus to Einstein and Beyond. 3rd paperback. Piscataway, NJ: Rutgers University Press, 2001, p. 40–41. ISBN 0-8135-2908-5 [Consulta: 27 desembre 2009]. 
  4. Johannes Kepler, Harmonices Mundi [The Harmony of the World] (Linz, (Austria): Johann Planck, 1619), book 5, chapter 3, p. 189. A la part inferior de la pàgina 189: "Sed res est certissima exactissimaque quod proportio qua est inter binorum quorumcunque Planetarum tempora periodica, sit præcise sesquialtera proportionis mediarum distantiarum, … " (Però és absolutament cert i exacte que la proporció entre els temps periòdics de dos planetes qualssevol és precisament la proporció sesquialtera [la proporció 3:2] de les seves distàncies mitjanes, … ")
    Traducció a l'anglès de l'obra de Kepler Harmonices Mundi disponible: Johannes Kepler with E.J. Aiton, A.M. Duncan, and J.V. Field, trans., The Harmony of the World (Filadèlfia, Pennsilvània: American Philosophical Society, 1997); vegeu p. 411.
  5. Burtt, Edwin. The Metaphysical Foundations of Modern Physical Science. p. 52.
  6. Gerald James Holton, Stephen G. Brush. Physics, the Human Adventure. Rutgers University Press, 2001, p. 45. ISBN 0-8135-2908-5. 
  7. Caspar, Max. Kepler. Nova York: Dover, 1993. 

Enllaços externs[modifica]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Lleis de Kepler Modifica l'enllaç a Wikidata
  • Crowell, Benjamin, Conservation Laws, http://www.lightandmatter.com/area1book2.html, un llibre electrònic que ofereix una prova de la primera llei sense l'ús del càlcul. (section 5.2, p. 112)
  • David McNamara and Gianfranco Vidali, Kepler's Second Law - Java Interactive Tutorial, http://www.phy.syr.edu/courses/java/mc_html/kepler.html, an interactive Java applet that aids in the understanding of Kepler's Second Law.
  • Audio - Cain/Gay (2010) Astronomy Cast Johannes Kepler and His Laws of Planetary Motion
  • Equant compared to Kepler: interactive model
  • Kepler's Third Law:interactive model
  • Solar System Simulator (Interactive Applet)
  • Kepler and His Laws, educational web pages by David P. Stern