Tensor mètric (relativitat general)

En la relativitat general, el tensor mètric (en aquest context sovint abreujat com a simplement mètrica) és l'objecte d'estudi fonamental. Es pot considerar vagament com una generalització del potencial gravitatori de la gravitació newtoniana. La mètrica captura tota l'estructura geomètrica i causal de l'espai-temps, s'utilitza per definir nocions com ara temps, distància, volum, curvatura, angle i separació del futur i del passat.

Aquest article funciona amb una signatura mètrica que és majoritàriament positiva (− + + +); veure convenció de signes. La constant de gravitació $G$ es mantindrà explícit. Aquest article utilitza la convenció de suma d'Einstein, on els índexs repetits es sumen automàticament.

Matemàticament, l'espai-temps està representat per una varietat diferenciable de quatre dimensions $M$ i el tensor mètric es dóna com a tensor simètric covariant, de segon grau $M$, denotada convencionalment per $g$. A més, cal que la mètrica sigui no degenerada amb signatura (− + + +). Una varietat $M$ equipat amb aquesta mètrica és un tipus de varietat lorentziana.

Explícitament, el tensor mètric és una forma bilineal simètrica a cada espai tangent de $M$ que varia de manera suau (o diferenciable) d'un punt a un altre. Donats dos vectors tangents $u$ i $v$ en un punt $x$ en $M$, la mètrica es pot avaluar $u$ i $v$ per donar un nombre real:

$$g_{x}(u,v)=g_{x}(v,u)\in \mathbb {R} .$$

Aquesta és una generalització del producte escalat de l'espai euclidià ordinari. A diferència de l'espai euclidià – on el producte escalat és definit positiu – la mètrica és indefinida i dóna a cada espai tangent l'estructura de l'espai de Minkowski.

La mètrica $g$ determina completament la curvatura de l'espai-temps. Segons el teorema fonamental de la geometria riemanniana, hi ha una connexió única ∇ en qualsevol varietat semi-riemanniana que és compatible amb la mètrica i sense torsió. Aquesta connexió s'anomena connexió Levi-Civita.

Una de les idees bàsiques de la relativitat general és que la mètrica (i la geometria associada de l'espai-temps) està determinada pel contingut de matèria i energia de l'espai-temps. Equacions de camp d'Einstein:

$$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\,T_{\mu \nu }$$

on el tensor de curvatura de Ricci

$$R_{\nu \rho }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {R^{\mu }}_{\nu \mu \rho }$$

i la curvatura escalar

$$R\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }$$

relaciona la mètrica (i els tensors de curvatura associats) amb el tensor esforç-energia $T_{\mu \nu }$. Aquesta equació tensor és un conjunt complicat d'equacions diferencials parcials no lineals per a les components mètriques. Les solucions exactes de les equacions de camp d'Einstein són molt difícils de trobar.