n-pla

En matemàtiques, si n és un nombre natural, aleshores una n-pla (de vegades n-tupla) és una seqüència o llista ordenada de n objectes, i aquests elements es diu que són les seves components. Si anomenem a₁ la primera d'aquestes components, a₂ la segona i així successivament fins a_n la n-èsima; es designa la n-pla corresponent amb la notació (a₁,a₂,...,a_n). De vegades s'usen altres delimitadors diferents als parèntesis, com els claudàtors [ ] o els claudàtors angulars ⟨ ⟩. Les claus { } no s'empren gairebé mai en aquest sentit perquè són la notació estàndard dels conjunts.

Formalment es defineix la relació d'igualtat entre dues n-ples (a₁,a₂,...,a_n) i (b₁,b₂,...,b_n) quan aquestes comparteixen totes les seves components, és a dir:

(a₁,a₂,...,a_n) = (b₁,b₂,...,b_n) :⇔ a₁=b₁, a₂=b₂, ..., a_n=b_n

Les n-ples són els elements del producte cartesià E₁×E₂×...×E_n dels n conjunts E₁,E₂,...,E_n. També es poden veure com la generalització a n components dels parells ordenats. Els noms tradicionals per a n-ples de n petita són singletó per la 1-pla, parell per la 2-pla, terna per la 3-pla, quaterna o quaternió per la 4-pla.

Propietats

Les principals propietats que distingeixen les n-ples o llistes ordenades d'altres objectes matemàtics com els conjunts són:

• Pot contenir un mateix element més d'una vegada, {a,b,b} = {a,b} però (a,b,b) ≠ (a,b).
• L'ordre en el que apareix cada element té importància, {a,b} = {b,a} però (a,b) ≠ (b,a).
• Té mida finita.

En concret, la primera d'aquestes propietats el distingeix d'un conjunt ordenat, la segona d'un multiconjunt i la tercera d'una successió. En relació amb aquestes últimes, una n-pla també es pot veure com una aplicació des d'un subconjunt finit de ℕ, és a dir, la n-pla (a₁,a₂,...,a_n) es pot definir amb la funció

f : {1,2,...,n} → A

  i ↦ a_i

Teoria de conjunts

Tot i que els conceptes de n-pla i de conjunt són diferents (vegeu-ho a l'apartat propietats), en teoria de conjunts es pot definir el primer a partir del segon. La forma usual de fer-ho és identificant la n-pla (a₁,a₂,...,a_n) amb el conjunt

(a₁,(a₁,(a₂,(a₂,(a₃,(a₃,(...,(a_n-1,(a_n-1,a_n))···))))))).

O bé reduint-ho a parells:

(a₁,a₂,...,a_n) := (a₁,(a₂,(...,(a_n-1,a_n)···)))

i usant la definició formal conjuntista del parell ordenat:

(a₁,a₂) := (a₁,(a₁,a₂)).

Vectors

Les n-ples a elements d'un cos K (és a dir, els elements del producte cartesià n-èsim Kⁿ=K×...×K) són l'exemple més usual de vectors. En concret, amb les operacions

(a₁,a₂,...,a_n) + (b₁,b₂,...,b_n) := (a₁+b₁ , a₂+b₂ , ... , a_n+b_n) on + denota la suma del cos.

λ(a₁,a₂,...,a_n) := (λa₁,λa₂,...,λa_n) on λ és un element del cos i λa_i és la multiplicació del cos.

tindrem ben definit un espai vectorial de dimensió n sobre el cos en qüestió.

Vegeu també

• Producte cartesià