Usuari:Alvaro Vidal-Abarca/Teoria de la singularitat

En matemàtiques, la teoria de la singularitat estudia els espais que gairebé són varietats, però no completament. Un exemple il·lustratiu pot ser una corda, que modela una varietat unidimensional, si obviem el seu gruix. Es pot provocar una singularitat llençant-la per l'aire, deixant-la caure a terra, o aplanant-la. En alguns casos, la corda es creuarà amb si mateixa. Els punts del terra on es creui representen un tipus de singularitat, el punt doble: un tros del terra correspon a més d'un tros de corda. També pot succeir que la corda es toqui a si mateixa, com una 'U' subratllada. A diferència del punt doble, aquest tipus de singularitat no és estable, en el sentit que si hom empeny lleugerament la part inferior de la 'U', se separarà del tros 'subratllat'.

Com poden sorgir les singularitats

En teoria de la singularitat, s'estudia el fenomen general de punts singulars i conjunts de singularitats com a part del concepte que a les varietats (espais sense singularitats) poden aparèixer punts especials i singulars mitjançant una multitud de procediments. La projecció n'és un, bastant intuïtiu en termes visuals, quan els objectes tridimensionals es projecten en dues dimensions (com per exemple en un ull humà); quan hom observa una estàtua clàssica, els plecs de la roba també estan creades mitjançant una projecció. Les singularitats d'aquest tipus inclouen les càustiques, força familiars com per exemple els patrons de la llum en el fons d'una piscina.

Altres situacions en què poden sorgir les singularitats és per degeneració de l'estructura de la varietat. Això implica la fragmentació de la parametrització dels punts; és freqüent en relativitat general, on s'identifica una singularitat gravitacional (on el camp gravitacional és prou gran per a canviar l'estructura de l'espaitemps) amb un forat negre. D'altra banda, un trau en l'estructura d'una varietat és una anomalia topològica en la qual no existeix cap camp –submergit a la varietat– que convergeixi. La presència de simetria pot ser adequada per considerar els orbifolds, que són varietats amb 'vores' en un procés de doblegat, semblant a les arrugues d'un tovalló.

Singularitats en geometria algebraica

Singularitats en corbes algebraiques

Una corba amb un punt doble: y² = x²+x³

Una corba amb una cúspide: y² = x³

Històricament, l'estudi de les singularitats començà amb les corbes algebraiques. El punt doble a l'origen (0,0) de la corba $y^{2}=x^{2}+x^{3}\$ i la cúspide de la corba $y^{2}=x^{3}\$ són qualitativament diferents, com es pot veure a les figures. Isaac Newton va realitzar un estudi detallat de totes les corbes cúbiques, la família general a la qual pertanyen aquests dos exemples. En la formulació del teorema de Bézout s'especifica que aquests punts singulars s'han de comptar amb la seva multiplicitat (2 per a un punt doble, 3 per a una cúspide) quan es recompten les interseccions de les corbes.

Posteriorment es va generalitzar aquest concepte a més dimensions, definint així la noció de punt singular d'una varietat algebraica.

La posició general de les singularitats en geometria algebraica

Les singularitats en geometria algebraica són, en principi, les més senzilles d'estudiar, perquè es defineixen en termes d'equacions algebraiques, i per tant en termes d'un sistema de coordenades. Hom pot dir que no es posa en dubte el significat extrínsec d'un punt singular, sinó que, en termes intrínsecs, les coordenades de l'espai subjacent no traslladen directament la geometria de la varietat algebraica en aquell punt. Els estudis d'aquestes singularitats van portar al teorema fonamental de Heisuke Hironaka sobre la resolució de singularitats (en geometria birracional de característica 0). Això significa que el procés d''aixecar' un tros de corda, utilitzant el lloc allà on s'ha creuat amb si mateixa, és inequívoc: totes les singularitats de la geometria algebraica es poden restablir amb alguna mena de col·lapse més o menys complex. Aquest resultat s'acostuma a utilitzar implícitament per estendre la geometria afí a la geometria projectiva: és freqüent que una varietat afí adquireixi punts singulars a l'hiperplà de l'infinit, un cop es pren la clausura de la varietat a l'espai projectiu. La resolució de singularitats estableix que aquestes singularitats es poden tractar amb alguna mena de compactificació, la qual cosa resulta en una varietat compacta (amb la topologia forta, no pas amb la topologia de Zariski).

Teoria de les catàstrofes

Article principal: Teoria de les catàstrofes

En la mateixa època que l'obra de Hironaka, la teoria de les catàstrofes de René Thom rebia molta atenció per part dels estudiosos. Aquesta és una altra branca de la teoria de la singularitat, basada en treballs anteriors de Hassler Whitney sobre punts crítics. En poques paraules, un punt crític d'una funció contínuament diferenciable (o funció suau) és un punt on el conjunt de nivell desenvolupa un punt singular en sentit geomètric. Aquesta teoria estudia les funcions diferenciables en general, no només els polinomis. En contrapartida, només s'hi consideren els fenòmens estables.

Visió d'Arnold

Encara que Thom era un eminent matemàtic, la subsegüent naturalesa de la teoria de les catàstrofes elemental propagada per Christopher Zeeman causà una enorme reacció, en particular per part de Vladimir Arnold. Arnold fou responsable per aplicar el terme teoria de la singularitat a l'àrea que inclou tant el camp de la geometria algebraica com els estudis de Whitney, Thom i altres autors. En la seva obra, Arnold va expressar el seu disgust per l'excessiva èmfasi que es posava en una petita part de l'àmbit d'estudi. L'obra fundacional sobre les singularitats suaus es formulava com la construcció de relacions d'equivalència sobre els punts singulars, i els gèrmens. Tècnicament, això utilitza accions de grups de Lie sobre espais de jets; en terminologia menys abstracta, hom examina les sèries de Taylor fins al canvi de variable, i hom posa el focus en estudiar les derivades de les singularitats. Segons Arnold, aquesta visió té aplicacions en geometria simplèctica, com ara la forma geomètrica de la mecànica clàssica.

Dualitat

Una raó important per la qual les singularitats causen problemes en matemàtiques és que, quan col·lapsa l'estructura d'una varietat, no es pot utilitzar la dualitat de Poincaré. Un avenç important fou la introducció de l'homologia d'intersecció, que sorgí inicialment per restaurar la dualitat mitjançant l'ús d'estrats. A partir d'aquest concepte n'han sorgit d'altres en àlgebra homològica.

Altres significats

La teoria que s'ha explicat anteriorment no està exclusivament relacionada amb el concepte de singularitat matemàtica com el valor en el qual una funció no està definida. Per exemple, també s'estudia als conceptes de singularitat aïllada, singularitat essencial o singularitat evitable. La teoria de monodromia d'equacions diferencials, en el domini complex, al voltant de les singularitats, sí que té relació amb la teoria geomètrica. En poques paraules, la monodromia estudia les formes en què pot degenerar un espai revestiment, mentre que la teoria de la singularitat estudia la forma en què pot degenerar una varietat; aquests dos camps estan relacionats.

Bibliografia

• Brieskorn, Egbert; Knorrer, Horst. Plane Algebraic Curves. Birkhauser-Verlag, 1986. ISBN 978-3764317690.