Càlcul de variacions

El càlcul de variacions és un problema matemàtic consistent a buscar màxims i mínims (o més generalment extrems relatius) de funcionals continus definits sobre algun espai funcional. Constitueixen una generalització del càlcul elemental de màxims i mínims de funcions reals d'una variable.

Historia

El càlcul de variacions es va desenvolupar a partir del problema de la corba braquistòcrona, plantejat inicialment per Johann Bernoulli (1696). Immediatament aquest problema va captar l'atenció de Jakob Bernoulli i el Marquès de L'Hôpital, encara que va ser Leonhard Euler el primer que va elaborar una teoria del càlcul variacional. Les contribucions de Euler es van iniciar en 1733 amb la seva Elementa Calculi Variationum ('Elements del càlcul de variacions') que dóna nom a la disciplina.

Lagrange contribuí extensament a la teoria i Legendre (1786) va assentar un mètode, no enterament satisfactori per distingir entre màxims i mínims. Isaac Newton i Gottfried Leibniz també hi van parar esment. Altres treballs destacats van ser els de Vincenzo Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Poisson (1831), Mikhail Vasilievich Ostrogradsky (1834) i Carl Jacobi (1837). Un treball general particularment important és el de Sarrus (1842) que va ser resumit per Cauchy (1844). Altres treballs destacats posteriors són els de Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) i Carll (1885), encara que potser el més important dels treballs durant el segle XIX és el de Weierstrass. Aquest important treball va ser una referència estàndard i és el primer que tracta el càlcul de variacions sobre una base ferma i rigorosa. Els problema 20 i 23 de Hilbert plantejats en 1900 van estimular alguns desenvolupaments posteriors. Durant el segle XX, David Hilbert, Emmy Noether, Leonida Tonelli, Henri Lebesgue i Jacques Hadamard, entre altres, en van fer contribucions notables. Marston Morse va aplicar el càlcul de variacions al que actualment es coneix com teoria de Morse Lev Semenovich Pontryagin, Ralph Rockafellar i Clarke van desenvolupar noves eines matemàtiques dins de la teoria del control òptim, generalitzant el càlcul de variacions.

Formulació general

Un dels problemes típics en càlcul diferencial és el de trobar el valor de $x$ per al qual la funció $f(x)$ assoleix un valor extrem (màxim o mínim). En el càlcul de variacions el problema és trobar una funció $f(x)$ per la qual un funcional $I[f]$ abast un valor extrem. El funcional $I[f]$ està compost per una integral que depèn de $x$, de la funció $f(x)$ i algunes de les seves derivades.

$I[f]=\int _{a}^{b}f(x,p(r),c'(x),...)\,dx$

On la funció $f(x)$ pertany a algun espai de funcions (espai de Banach, espai de Hilbert), i tant ella com les seves derivades poden tenir restriccions.

Aquesta fórmula integral pot ser més complicada permetent $x$ ser un vector, i per tant incloent derivades parcials per $f$.

Problemes històrics

Problema Isoperimètric

Article principal: Isoperimetria

Quina és l'àrea màxima que pot envoltar amb una corba de longitud donada?.

Exemple: Siguin dos punts $A=(a,0),B=(b,0)$ en l'eix x on la distància entre ells està donada. És a dir $AB=l$. El problema de trobar una corba que maximitzi l'àrea entre ella i l'eix x seria:

Trobar una funció $f(x)$ de manera que,

$I[f]=\int _{a}^{b}f(x)dx=$ max

amb les restriccions

$G[f]=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}dx=l$ (longitud d'arc)

$f(a)=f(b)=0$

Braquistòcrona

El problema de la corba braquistòcrona es remunta a J. Bernoulli (1696). Es refereix a trobar una corba en el pla cartesià que vagi del punt $P=(x_{0},i_{0})$ l'origen de manera que un punt material que es llisca sense fricció sobre ella triga el menor temps possible a anar de $P$ l'origen. Usant principis de mecànica clàssica el problema pot formular-se com,

$T[f]=\int _{0}^{x_{0}}{\frac {\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}{\sqrt {2g(y_{0}-y)}}}\ dx=$ min

on g és la gravetat i les restriccions són, $f(0)=0$, $f(x_{0})=y_{0}$. Cal notar que en $x=x_{0}$ hi ha una singularitat.

Vegeu també

• Equacions d'Euler-Lagrange.

Bibliografia

• A. Kriegl y P. W. Michor: "Aspects of the theory of inifinite dimensional manifolds", Differential Geometry and its Applications, 1, 1991, pp. 159-176.
• Leonida Tonelli: Fondamenti di calcolo delle variazioni, N. Zanichelli, 1921-23
• Todhunter, I. A history of the calculus of variations, Chelsea, 1861
• Carll, L. B. A Treatise On The Calculus Of Variations John Wiley & sons, 1881
• Hancock, H. Lectures on the calculus of variations (the Weierstrassian theory) Cincinnati University Press, 1904
• Bolza, O Lectures on the calculus of variations, Chicago University Press, 1904
• Byerly, W. E. Introduction to the calculus of variations Harvard University Press, 1917
• Weinstock, R. Calculus Of Variations With Applications To Physics And Engineering, McGrawHill, 1952
• Hadamard J. e Fréchet, M. Leçons sur le calcul des variations (francese) Hermann, 1910
• Fomin, S.V. and Gelfand, I.M.: Calculus of Variations, Dover Publ., 2000
• Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1 – 98
• Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987
• Giuseppe Buttazzo, Gianni Dal Maso, Ennio De Giorgi. Variazioni, calcolo delle, Enciclopedia del Novecento, II Supplemento (1998), Istituto dell'Enciclopedia italiana Treccani
• Gianni Dal Maso, Variazioni, calcolo delle, Enciclopedia della Scienza e della Tecnica, (2007), Istituto dell'Enciclopedia italiana Treccani