Funció d'ona

Funció d'ona per a una partícula bidimensional tancada en una caixa; les línies de nivell sobre el plànol inferior estan relacionades amb la probabilitat de presència

En mecànica quàntica, una funció d'ona $\Psi (x,y,z,t)$ és una forma de descriure l'estat físic d'un sistema de partícules i, per tant, conté tota la informació que sigui mesurable de les partícules. Usualment, és una funció complexa i de quadrat integrable de les coordenades espacials de cadascuna de les partícules. Per exemple, la funció d'ona $\psi$ de l'orbital atòmic de més baixa energia, ocupat a tots els àtoms, i anomenat 1s, és:

$$\psi _{1s}=2\cdot Z^{3/2}\cdot e^{-\rho /2}\cdot (1/4\pi )^{1/2}$$

on:

• $Z$, càrrega elèctrica positiva del nucli atòmic (càrrega nuclear efectiva per a orbitals superiors, que és la càrrega nuclear menys l'apantallament dels electrons interns),
• $e=2,71828...$
• $\rho =2Zr/na_{0}$, on:
  • $r$, el radi,
  • $n$ és el nombre quàntic principal ($n=1,2,3...$), i
  • $a_{0}$ és el radi de Bohr, que val 52,9 pm.

Probabilitat

Max Born.

La funció d'ona $\Psi (x,y,z,t)$ representa l'amplitud de la probabilitat de trobar una partícula en un punt concret de l'espai $(x,y,z)$, en un moment determinat $t$. La probabilitat real de trobar la partícula és expressada pel producte de la funció d'ona amb el seu conjugat complex $\Psi ^{*}$ (com el quadrat de l'amplitud d'una funció complexa): $P(x,y,z)=\Psi \cdot \Psi ^{*}dx\,dy\,dz$, on $\Psi \cdot \Psi ^{*}=|\Psi (x,y,z)|^{2}$ és la probabilitat per unitat de volum o la densitat de probabilitat, de trobar la partícula en el punt $(x,y,z)$. Aquesta interpretació de la funció d'ona fou realitzada pel físic alemany Max Born (1882-1970) el juliol de 1926.

La funció d'ona ha de ser una funció contínua i normalitzable. Ja que la probabilitat de trobar la partícula en algun lloc ha de ser igual a 1 (si miram tot l'espai en algun lloc hi ha la partícula), la funció d'ona ha d'estar normalitzada. Això vol dir que la suma de les probabilitats per a tot l'espai ha de ser igual a u. Aquest concepte es representa mitjançant una integral, anomenada condició de normalització:

$$\int \Psi \cdot \Psi ^{*}dx\,dy\,dz=1$$

L'equació de Schrödinger

Erwin Schrödinger el 1933.

L'equació de Schrödinger fou obtinguda el 1926 pel físic austríac Erwin Schrödinger (1887-1961), després d'haver-se demostrada la dualitat ona-corpuscle hipotetitzada pel físic francès Louis-Victor de Broglie (1892-1987) en la seva tesi doctoral del 1924. L'equació de Schrödinger és l'equació que ha de complir la funció d'ona d'una partícula quan es troba dins d'un camp elèctric. Proporciona una equació determinista per a explicar l'evolució temporal de la funció d'ona i, per tant, de l'estat físic del sistema en l'interval comprès entre dues mesures. Té el mateix paper que les lleis de Newton i la conservació de l'energia a la mecànica clàssica; és a dir, prediu el comportament futur d'un sistema dinàmic. Per a un sistema quàntic general l'equació de Schrödinger s'escriu com:

Funció d'ona en dues dimensions.

$$i\hbar {\partial \Psi (\mathbf {r} ,\,t) \over \partial t}={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)$$

on:

• $\Psi (\mathbf {r} ,\,t)$ és la funció d'ona, que determina l'amplitud de probabilitat per a diferents espais de configuració del sistema,
• $i={\sqrt {-1}}$,
• $\hbar$ és la constant de Planck reduïda (${\textstyle \hbar =h/2\pi }$) que pot ser igualada a la unitat quan s'utilitzen unitats naturals,
• ${\hat {H}}$ és l'operador lineal Hamiltonià del sistema que, aplicat a la funció d'ona, proporciona l'energia del sistema (el primer terme proporciona l'energia cinètica i el segon l'energia potencial elèctrica):

$$H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\biggl (}{\partial ^{2} \over \partial x}+{\partial ^{2} \over \partial y}+{\partial ^{2} \over \partial z}{\biggr )}+V(x,y,z)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(x,y,z)$$

on:

• $m$ és la massa de la partícula,
• $V(x,y,z)$ és el potencial elèctric del camp elèctric,
• $\nabla ^{2}$ és l'operador laplacià.

Històricament, el nom funció d'ona es refereix al concepte que va ser desenvolupat en el marc de la primera física quàntica, en què s'interpretava que les partícules podien ser representades mitjançant una ona física que es propaga en l'espai. En la formulació moderna, la funció d'ona s'interpreta com un objecte molt més abstracte, que representa un element d'un cert espai de Hilbert de dimensió infinita que agrupa els possibles estats del sistema.

Vegeu també

• Mecànica quàntica
• Equació de Schrödinger

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Funció d'ona

• La relativitat d'escala descobrix l'univers com una gran funció d'ona (castellà).